2025-Inp-Mpi2-Corrigé

CCINP 2025 — Mathématiques 2 — MPI

Le sujet comporte deux exercices et un problème.

Exercice 1

Soient {n\geq1} et {x_1,\ldots,x_n\gt0}. On pose {m=(1/n)\sum\limits_{j=1}^nx_j}.

On désigne par {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} l’ensemble des matrices réelles symétriques définies positives d’ordre {n}.

Désormais {A=(a_{ij})\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}.

Exercice 2

On définit {P_0=1}, {P_1=X} et {P_{n+2}=2XP_{n+1}-P_n} pour {n\in\mathbb N}. Dans les questions suivantes, {n,k} sont des entiers naturels.

Pour {P,Q\in\mathbb R[X]}, on pose

{\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.}

Problème — Matrices de rang 1

On fixe {n\geq2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} et {\mathcal M_{1,n}(\mathbb R)} les espaces des matrices carrées, colonnes et lignes correspondantes.

Partie I — Exemples

Les variables {X_1,\ldots,X_n} sont indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}. On pose

{U=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T},\quad M=UU^{\mathsf T}=(X_iX_j)_{1\leq i,j\leq n}.}

Partie II — Résultats généraux

Dans cette partie, {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est de rang {1}.

On note {u} l’endomorphisme de {\mathbb R^n} canoniquement associé à {A}.