EPITA–IPSA–ESME 2025 — Option mathématiques
Dans ce problème, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, {n\geq2}, {\mathcal M_n(\mathbb K)} est l’algèbre des matrices carrées d’ordre {n}, {I_n} sa matrice identité et {\operatorname{GL}_n(\mathbb K)} le groupe des matrices inversibles.
Une matrice scalaire est de la forme {\lambda I_n}. La topologie est celle définie par l’une quelconque des normes sur cet espace de dimension finie, toutes équivalentes.
La classe de similitude de {M} est
{\mathcal S(M)=\{PMP^{-1}:P\in\operatorname{GL}_n(\mathbb K)\}.}L’objectif est d’étudier les propriétés topologiques de ces classes.
Partie I — Le cas des matrices d’ordre 2
1. Déterminer la classe de similitude d’une matrice scalaire de {\mathcal M_2(\mathbb K)}.
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2. Pour {k\in\mathbb K}, on pose
{E_k=\begin{pmatrix}1&k\\[8pt]0&1\end{pmatrix},\quad F_k=\begin{pmatrix}1&0\\[8pt]k&1\end{pmatrix}.}
2. (a) Montrer que {E_k,F_k} sont inversibles et déterminer leurs inverses.
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2. (b) Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\\[8pt]c&d\end{pmatrix}}, calculer {E_kAE_k^{-1}} et {F_kAF_k^{-1}}.
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2. (c) Montrer que {\mathcal S(A)} est bornée si et seulement si {A} est scalaire.
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On fixe désormais {A\in\mathcal M_2(\mathbb K)} et l’on cherche quand sa classe est fermée.
3. On suppose que {A} possède deux valeurs propres distinctes {\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb K}. Soit {(M_k)} une suite de {\mathcal S(A)} convergeant vers {B}.
3. (a) Pour {i\in\{1,2\}}, montrer que {\det(B-\lambda_iI_2)=0} en considérant {\det(M_k-\lambda_iI_2)}.
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3. (b) En déduire que {B\in\mathcal S(A)} et que {\mathcal S(A)} est fermée.
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4. On suppose que {A} possède une seule valeur propre {\lambda\in\mathbb K} et n’est pas scalaire.
4. (a) Montrer que {A} est trigonalisable et semblable à toute matrice {T=\begin{pmatrix}\lambda&\alpha\\[8pt]0&\lambda\end{pmatrix}}, avec {\alpha\ne0}.
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4. (b) En déduire que {\mathcal S(A)} n’est pas fermée.
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5. Pour {\mathbb K=\mathbb C}, donner une condition nécessaire et suffisante simple pour que {\mathcal S(A)} soit fermée.
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6. On suppose {\mathbb K=\mathbb R}.
6. (a) Montrer que le spectre réel de {A} est vide si et seulement si {4\det A-(\operatorname{tr}A)^2\gt0}.
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Dans la suite de la question 6, on suppose cette condition réalisée.
6. (b) Soit
{u} l’endomorphisme de matrice canonique
{A}. Montrer que
{(e_1,u(e_1))} est une base et que la matrice de
{u} dans cette base est
{\begin{pmatrix}0&-\det A\\[8pt]1&\operatorname{tr}A\end{pmatrix}.}
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6. (c) Si
{(M_k)\subset\mathcal S(A)} converge vers
{B\in\mathcal M_2(\mathbb R)}, montrer que
{B} a même trace et même déterminant que
{A}.
En déduire que {\mathcal S(A)} est fermée.
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7. Décrire les matrices de {\mathcal M_2(\mathbb R)} dont la classe de similitude est fermée.
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Partie II — Classes de similitude bornées dans {\mathcal M_n(\mathbb K)}
1. Soit {u\in\mathcal L(\mathbb K^n)}. Montrer que, si {x,u(x)} sont liés pour tout {x}, alors {u} est une homothétie. On pourra considérer la base canonique et les vecteurs {e_1+e_i}.
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2. Si
{A} n’est pas scalaire et
{u} lui est canoniquement associé, montrer qu’il existe
{x} tel que
{(x,u(x))} soit libre.
En déduire que, pour tout {\alpha\ne0}, il existe une base dans laquelle la première colonne de la matrice de {u} est {(0,\alpha,0,\ldots,0)^{\mathsf T}}.
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3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la classe de similitude d’une matrice de {\mathcal M_n(\mathbb K)} soit bornée.
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4. Existe-t-il une norme sur {\mathcal M_n(\mathbb K)} invariante par similitude, c’est-à-dire telle que {\|PMP^{-1}\|=\|M\|} pour tous {M} et {P} inversible ?
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Partie III — Classes fermées dans {\mathcal M_n(\mathbb C)}
On fixe {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}.
1. On suppose {A} diagonalisable. Soit {(M_k)\subset\mathcal S(A)} convergeant vers {B}.
1. (a) Montrer que l’application {M\mapsto\chi_M\in\mathbb C_n[X]} est continue.
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1. (b) Montrer que tout polynôme annulateur de {A} annule {B}. En déduire que {B} est diagonalisable.
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1. (c) Conclure que {\mathcal S(A)} est fermée.
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2. On suppose {\mathcal S(A)} fermée. Soit {u} l’endomorphisme associé à {A}. Sur {\mathbb C}, on choisit une base {(b_1,\ldots,b_n)} dans laquelle sa matrice {T=(t_{ij})} est triangulaire supérieure.
2. (a) Pour {k\geq1}, montrer que {\mathcal B_k=(b_1,b_2/k,\ldots,b_n/k^{n-1})} est une base et écrire la matrice de {u} dans cette base.
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2. (b) En déduire que {A} est diagonalisable.
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Partie IV — Une classe de similitude est toujours d’intérieur vide
Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb K)}.
1. On pose {\mathcal T=\{M:\operatorname{tr}M=\operatorname{tr}A\}}. Quelle est sa structure ? Montrer qu’elle est d’intérieur vide.
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2. En déduire que {\mathcal S(A)} est d’intérieur vide.
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