EPITA–IPSA–ESME 2025 — Mathématiques — MP, MPI, PC, PSI
Le sujet comporte trois exercices indépendants.
Exercice 1 — Étude d’une équation fonctionnelle
Dans tout l’exercice, {f:\mathbb R\to\mathbb R}, {\lambda\in\mathbb R} avec {|\lambda|\lt1}, et {a\in\mathbb R}. On pose, lorsque cela a un sens,
{F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nf(x+na).}
Q 1. On suppose {f} bornée sur {\mathbb R}. Montrer que {F} est définie sur {\mathbb R}.
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Q 2. On suppose {f} continue, bornée sur {\mathbb R}, et de limite finie {\ell} en {+\infty}.
Q 2. (a) Montrer que {F} est définie et continue sur {\mathbb R}.
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Q 2. (b) Déterminer la limite de {F} en {+\infty} en fonction de {\ell}.
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On note {\mathcal L} l’ensemble des fonctions lipschitziennes de {\mathbb R} dans {\mathbb R} : pour {f\in\mathcal L}, il existe {K\geq0} tel que {|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|} pour tous {x,y}.
On suppose désormais {f\in\mathcal L}.
Q 3. Montrer que {\mathcal L} est un espace vectoriel réel.
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Q 4. Montrer qu’il existe {A,B\geq0} tels que {|f(x)|\leq A|x|+B} pour tout {x\in\mathbb R}.
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Q 5. En déduire que {F} est définie sur {\mathbb R}.
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Q 6. (a) Montrer que {F\in\mathcal L} et que {F(x)-\lambda F(x+a)=f(x)} pour tout {x\in\mathbb R}.
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Q 6. (b) Montrer que {F} est l’unique {G\in\mathcal L} vérifiant {G(x)-\lambda G(x+a)=f(x)} pour tout {x\in\mathbb R}.
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Q 7. Pour {f(x)=1}, montrer que {f\in\mathcal L} et déterminer {F}.
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Q 8. Pour {f(x)=\cos x}, montrer que {f\in\mathcal L} et déterminer {F}.
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Exercice 2 — Pile je gagne, Face tu perds
On lance indéfiniment une pièce équilibrée, de manière indépendante. On admet un modèle probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)} et l’on note {P_n} et {F_n} les événements « pile » et « face » au lancer {n}.
Toutes les variables de l’exercice prennent leurs valeurs dans {\mathbb N\cup\{+\infty\}}.
Q 9. Pour une telle variable
{X}, montrer que
{\mathbb P(X=+\infty)=1-\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb P(X=n).}
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Q 10. En utilisant une variable de loi géométrique, montrer que la pièce donne au moins une fois pile avec probabilité {1}.
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Q 11. On découpe les lancers en groupes disjoints de trois.
Pour {n\in\mathbb N}, {Y=n} si le premier groupe donnant PPF est le groupe {n+1}, constitué des lancers {3n+1} à {3n+3}. Par exemple, {Y=2} signifie que seuls les troisième des trois premiers groupes donnent PPF. On pose {Y=+\infty} si aucun groupe ne donne PPF.
Reconnaître la loi de {Y+1} et en déduire que PPF apparaît au moins une fois avec probabilité {1}.
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On admet désormais que toute séquence finie apparaît au moins une fois avec probabilité {1}.
On note {Z} le nombre de lancers nécessaires pour obtenir PP pour la première fois. Ainsi {\mathbb P(Z=+\infty)=0}.
Q 12. Pour
{k\geq2}, on note
{A_k=P_{k-1}\cap P_k}. Montrer que, pour
{k\geq4},
{\begin{array}{rl}\mathbb P(A_k)&=\displaystyle\frac14\mathbb P(Z\leq k-2)\\[8pt]&+\displaystyle\frac12\mathbb P(Z=k-1)+\mathbb P(Z=k)\end{array}}
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Q 13. En déduire que, pour
{k\geq2},
{\frac14\mathbb P(Z\geq k-1)=\frac12\mathbb P(Z=k-1)+\mathbb P(Z=k).}
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Q 14. Rappeler le lien entre l’espérance de
{Z} et la série
{\sum\mathbb P(Z\geq n)}.
L’utiliser pour montrer que {Z} est d’espérance finie et calculer cette espérance.
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Q 15. Montrer que, pour
{k\geq2},
{\mathbb P(Z=k+2)=\frac14\mathbb P(Z=k)+\frac12\mathbb P(Z=k+1),}puis déterminer la fonction génératrice de {Z}.
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Alice joue avec la séquence PPF et Bob avec FPP. Le premier à voir sa séquence apparaître gagne. Comme PPFFPP apparaît presque sûrement, la partie s’achève presque sûrement.
On note {X_A} et {X_B} les rangs de victoire respectifs, avec la valeur {+\infty} pour le joueur qui ne gagne pas. On pose {\pi_A=\mathbb P(X_A\lt+\infty)} et {\pi_B=\mathbb P(X_B\lt+\infty)}.
Q 16. On pose {T=\min(X_A,X_B)}. Que représente {T} ?
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Q 17. Pour
{n\geq2}, en considérant
{(T\geq n+1)\cap P_{n+1}\cap P_{n+2}\cap F_{n+3}}, montrer que
{\begin{array}{l}\displaystyle\frac18\mathbb P(T\geq n+1)=\mathbb P(X_A=n+3)\\[8pt]\displaystyle\quad+\frac12\mathbb P(X_B=n+2)+\frac14\mathbb P(X_B=n+1).\end{array}}
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Q 18. Pour
{n\geq2}, en considérant
{(T\geq n+1)\cap F_{n+1}\cap P_{n+2}\cap P_{n+3}}, montrer que
{\begin{array}{l}\displaystyle\frac18\mathbb P(T\geq n+1)\\[8pt]\quad\displaystyle=\mathbb P(X_B=n+3)+\frac14\mathbb P(X_A=n+1)\end{array}}
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Q 19. Montrer que
{\pi_A+\pi_B=1}, puis calculer ces probabilités.
Le jeu est-il équitable ?
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Exercice 3 — Racines carrées de matrices
On travaille sur {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {n\geq1}. On note {\mathcal M_n(\mathbb K)} l’espace des matrices carrées d’ordre {n}.
Q 20. Montrer que la matrice
{A=\begin{pmatrix}0&1&2\\[8pt]1&0&1\\[8pt]2&-1&0\end{pmatrix}}est diagonalisable et la diagonaliser.
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Dans la suite, {A,M\in\mathcal M_n(\mathbb K)} commutent et {A} possède {n} valeurs propres distinctes dans {\mathbb K}.
Q 21. Montrer que toute colonne propre de {A} est aussi colonne propre de {M}.
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Q 22. En déduire qu’il existe {P} inversible telle que {P^{-1}AP} et {P^{-1}MP} soient toutes deux diagonales.
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Q 23. Pour la matrice {A} de Q20, déterminer le nombre de matrices {M\in\mathcal M_3(\mathbb K)} telles que {M^2=A}, selon que {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}.
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Pour la dernière question, {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est symétrique positive.
Q 24. Montrer qu’il existe une matrice réelle symétrique positive {M} telle que {M^2=B}.
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