2025-E3a-Mpi-Corrigé

E3A-Polytech 2025 — Mathématiques — MPI

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1

On définit sur {\mathbb R^n} la fonction {f(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits_{j=1}^ne^{x_j}}.

On pose {g(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits_{j=1}^nx_j} et {H=g^{-1}(\{0\})}.

Exercice 2

Soit {n\geq3}. On note {E=\mathbb C_{n-1}[X]}, {A=X^n-1} et {B=X^n-X}.

Questions préliminaires

On note les racines de {B} : {z_1,\ldots,z_{n-1},z_n}, avec {z_n=0}.

Pour {P\in E}, on note {f(P)} le reste de la division euclidienne de {AP} par {B}.

Étude du noyau et de l’image de {f}

Éléments propres de {f}

Pour {1\leq j\leq n}, on pose

{P_j=\frac B{X-z_j}=\prod_{k\ne j}(X-z_k),\quad R_j=f(P_j).}

Exercice 3

Questions préliminaires

Pour tout réel {t}, sa partie entière vérifie {\lfloor t\rfloor\leq t\lt\lfloor t\rfloor+1}, ou encore {t-1\lt\lfloor t\rfloor\leq t}.

Pour {x\geq0}, on note

{\begin{array}{rl}E_x&=\{(a,b)\in\mathbb N^2:\sqrt{a^2+b^2}\leq x\},\\[8pt]G(x)&=\operatorname{Card}(E_x)\end{array}}Il s’agit des points à coordonnées entières positives au sens large dans le disque fermé de centre {O} et de rayon {x}.

Un équivalent de {g}