2025-E3a-Mp-Corrigé

E3A-Polytech 2025 — Mathématiques — MP

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1

Sur {\mathbb R^4} muni du produit scalaire canonique, on définit {f(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2}. On cherche ses extrema sous la contrainte {H=\{(x,y,z,t):x+y=2\}} et les points où ils sont atteints.

Première méthode

Deuxième méthode

On pose {g(x,y,z,t)=x+y-2}.

Troisième méthode

On pose {F=\{(x,y,z,t):x+y=0\}} et {Y=(-1,-1,0,0)}.

Exercice 2

Soit {n\geq3}. On note {E_{n-1}=\mathbb C_{n-1}[X]}, de dimension {n}, et {\mathcal B=(Q_0,\ldots,Q_{n-1})} sa base canonique, avec {Q_k(X)=X^k}.

Pour {\alpha\in\mathbb C}, on définit l’endomorphisme

{\varphi_\alpha(P)=\frac1{\sqrt n}\sum_{q=0}^{n-1}P(\alpha^q)X^q,}et l’on note {A_\alpha} sa matrice dans {\mathcal B}. On pose {\omega=e^{2\mathrm i\pi/n}} ; ainsi {\omega^n=1} et {\overline\omega=\omega^{-1}}.

On note {A_\omega=(a_{k\ell})_{1\leq k,\ell\leq n}}.

Éléments propres de {\varphi_\omega}

Pour {0\leq q\leq n-1}, on note

{L_q(X)=\frac{X^n-1}{X-\omega^q}.}En particulier, {L_0(X)=1+X+\cdots+X^{n-1}}.

On pose {H_0=\operatorname{Vect}(Q_0,L_0)} et l’on admet que {(Q_0,L_0)} en est une base.

On suppose désormais {n\geq5}.

Exercice 3

Question de cours

On pose, lorsque cela est possible,

{f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{(n!)^2}.}

Pour {x\gt0}, on pose

{g(x)=\int_1^x\frac{dt}{t[f(t)]^2}.}