2025-Cnm-Mp2-Corrigé

Concours national commun 2025 — Mathématiques 2 — MP

Le sujet comporte un exercice et un problème indépendants.

Exercice

On considère

{A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\[8pt]-1&1&1\\[8pt]-1&-1&3\end{pmatrix},}et l’on note {I_3} la matrice identité. Pour {u,v\in\mathbb R^3}, {\operatorname{Vect}(u,v)} désigne le sous-espace qu’ils engendrent.

1. On pose {f_1=(1,1,1)} et {F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y-z=0\}}.

Problème

On fixe {n\geq1} et {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}. On note {\mathcal M_n(\mathbb K)} l’espace des matrices carrées d’ordre {n}, {I_n} sa matrice identité et {\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)} l’espace des colonnes à {n} lignes.

On utilise les notations {\chi_M(X)=\det(XI_n-M)}, {M^{\mathsf T}} pour la transposée et {\operatorname{Tr}(M)=\sum\limits_{i=1}^nm_{ii}} pour la trace. La matrice {\operatorname{Diag}(a_1,\ldots,a_n)} est diagonale, de coefficients indiqués dans cet ordre.

On note {\mathcal S_n(\mathbb R)} l’ensemble des matrices réelles symétriques et {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} celui des matrices {S} symétriques telles que {X^{\mathsf T}SX\geq0} pour toute colonne réelle {X}. Les ensembles {\mathbb R_+} et {\mathbb R_+^*} désignent les réels positifs et strictement positifs.

Le problème porte sur des propriétés et applications de la trace.

Partie 1 — Préliminaires

2. Soient {M=(m_{ij})} et {N=(n_{ij})} deux matrices de {\mathcal M_n(\mathbb R)}.

3. On pose {F=\!\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R),\;M\text{ diagonale et }\operatorname{Tr}(M)=0\}}

4. Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)}. On considère

{\Phi_A(X)=X+\operatorname{Tr}(X)A.}

Soit {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)}. On étudie l’équation {(*)\colon\Phi_A(X)=B}.

4. b) On suppose {\operatorname{Tr}(A)\ne-1}.

4. c) On suppose maintenant {\operatorname{Tr}(A)=-1}.

Partie 2 — La valeur absolue de la trace comme « fonction génératrice »

On note {E=\mathcal M_n(\mathbb K)}, de dimension {n^2}, et {(E_{ij})} sa base canonique : {E_{ij}} a pour seul coefficient non nul un {1} en position {(i,j)}.

Le symbole de Kronecker {\delta_{hk}} vaut {1} si {h=k} et {0} sinon. On rappelle que {E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}}.

Une application {q:E\to\mathbb R_+} est une semi-norme si

{q(\lambda M)=|\lambda|q(M),\quad q(M+N)\leq q(M)+q(N).}On dit qu’elle vérifie {(P)} si {q(MN)=q(NM)} pour toutes matrices {M,N\in E}.

1. Soit {q} une semi-norme sur {E}.

Dans les questions 3 et 4, on suppose {n\geq2}.

3. Soient {\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb K} et

{A=\sum_{j=1}^nE_{1j}+\sum_{i=2}^nE_{ii},\quad B=\sum_{h=1}^n\alpha_hE_{h1}.}

4. Soit {q} une semi-norme vérifiant {(P)}, et {M=(m_{ij})\in E}.

Partie 3 — Caractérisation d’une matrice de {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} par la trace

On note {O(n)} le groupe des matrices orthogonales, vérifiant {U^{\mathsf T}U=I_n}.

1. Soit {S\in\mathcal S_n^+(\mathbb R)}.

1. a) Soient {D=\operatorname{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)} avec {\lambda_k\geq0}, et {U=(u_{kj})\in O(n)}.

1. b) Soit {U\in O(n)}.

2. Réciproquement, soit {A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb R)} telle que

{\forall U\in O(n),\quad\operatorname{Tr}(AU)\leq\operatorname{Tr}(A).}

2. b) Soit {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)} une base orthonormée de {\mathbb R^n}. Pour {1\leq p\lt q\leq n}, on note {\Pi_{p,q}=\operatorname{Vect}(e_p,e_q)}.

L’endomorphisme {u_{p,q}} est la rotation d’angle {\alpha} sur ce plan orienté par {(e_p,e_q)}, et l’identité sur son orthogonal. Sa matrice dans {\mathcal B} est notée {U_{p,q}}.

Pour {1\leq i\leq n}, on note {\gamma_i} la valeur propre associée à {v_i}.