2025-Centrale-MpMpi1-Corrigé

Centrale-Supélec 2025 — Mathématiques 1 — MP, MPI

Irrationalité de {\zeta(2)}

Notations

Si {x\in\mathbb R}, on note {\lfloor x\rfloor} sa partie entière.

Si {p} est un nombre premier et {n\in\mathbb N^*}, on note {v_p(n)} la valuation {p}-adique de {n}, c’est-à-dire le plus grand entier naturel {k} tel que {p^k} divise {n}.

Si {x\geq1}, on note {\pi(x)} le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à {x}. Autrement dit,

{\pi(x)=\operatorname{card}\{p\text{ premier}:p\leq x\}=\sum_{\substack{p\leq x\\[8pt]p\text{ premier}}}1.}Ici {\operatorname{card}(A)} désigne le cardinal de l’ensemble fini {A}.

Partie A — Un encadrement de la fonction {\pi}

Le but de cette partie est d’établir l’encadrement suivant :

I — Calculs préliminaires

II — Majoration de {\pi(x)}

III — Minoration de {\pi(x)}

L’inégalité précédente a été asymptotiquement améliorée en 1896. On admettra dans la suite le résultat suivant, appelé théorème des nombres premiers :

Partie B — Une majoration d’un PPCM

I — Une première majoration

Cet entier s’appelle le plus petit commun multiple de {a_1,\ldots,a_r} et se note {\operatorname{PPCM}(a_1,\ldots,a_r)}.

Pour tout {n\in\mathbb N^*}, on note {d_n=\operatorname{PPCM}(1,2,\ldots,n)}.

II — Une majoration plus fine

Le but de cette sous-partie est d’améliorer la majoration de {d_n}.

Dans les deux questions suivantes, on fixe un entier naturel non nul {n} et, pour tout nombre premier {p}, on note {k_p} le plus grand entier naturel tel que {p^{k_p}\leq n}.

Partie C — Un critère d’irrationalité

Soit {\alpha\in\mathbb R_+}. On suppose qu’il existe deux suites d’entiers naturels non nuls {(p_n)_{n\in\mathbb N}} et {(q_n)_{n\in\mathbb N}} telles que

{\lim_{n\to+\infty}\frac{p_n}{q_n}=\alpha,\quad \left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right|=o\left(\frac1{q_n}\right).}On suppose en outre que {p_n/q_n\ne\alpha} pour tout {n\in\mathbb N}.

Soit {\displaystyle\beta=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac1{10^{n!}}}.

Partie D — Calcul d’une intégrale double

I — Une intégrale double

Soient {r} et {s} deux entiers naturels strictement positifs tels que {r\geq s}.

On pose, pour {y\in]0,1[},

{f_{r,s}(y)=\int_0^1\frac{x^ry^s}{1-xy}\,dx.}

On pose

{J_{r,s}=\int_0^1f_{r,s}(y)\,dy=\int_0^1\int_0^1\frac{x^ry^s}{1-xy}\,dx\,dy.}

II — Une écriture sous forme de quotients

Dans cette sous-partie, on suppose {r\gt s}.

On admettra que

Partie E — Une démonstration de l’irrationalité de {\zeta(2)}

On définit sur {[0,1]} la fonction {P_n} par

{P_n(x)=\frac1{n!}\frac{d^n}{dx^n}\bigl(x^n(1-x)^n\bigr).}

On pose dans la suite

{P_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k,\quad (1-y)^n=\sum_{k=0}^nb_ky^k,}avec {a_k,b_k\in\mathbb Z} pour tout {k\in\{0,\ldots,n\}}.

On admettra dans toute la suite que {p_n} et {q_n} sont non nuls pour tout {n\in\mathbb N^*}.