2024-E3A-Mp2-Corrigé

E3A 2024 — MPI — Mathématiques

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Exercice 1

Soit {E} l’espace des fonctions réelles continues et bornées sur {\mathbb R}. Pour {f\in E}, on note {N_0(f)=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|}.

Questions de cours

6. Soit {f\in E}.

9. Soit {(h_n)} une suite de fonctions de {E} convergeant uniformément sur {\mathbb R} vers une fonction {h}.

10. Soit {f_0} la fonction constante égale à {1}, et {g=\Phi(f_0)}.

10.4. Une autre expression de g′

Exercice 2

On note {i^2=-1}, {E_n=\mathbb C_n[X]} pour {n\ge1}, et {\mathbb U=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}}.

Questions préliminaires

Soit {n\ge1}. Pour {P,Q\in E_n}, on définit {\varphi(P,Q)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{P(e^{i\theta})}\,Q(e^{i\theta})\,d\theta.}

6.5. Soit {Q_0=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kX^k}, et {M=\sup_{z\in\mathbb U}|Q_0(z)|^2}.

Exercice 3

Question de cours

Soit une suite {(u_n)_{n\ge1}} vérifiant {u_{n+1}=au_n+b}, avec {a\in\mathbb R\setminus\{1\}} et {b\in\mathbb R}.

Soient {n\ge1} et {N\ge2}. Un joueur lance indépendamment {n} boules dans {N} cases numérotées de {1} à {N}, chaque boule ayant une probabilité {1/N} de tomber dans chaque case. On note {T_n} le nombre de cases non vides après {n} lancers.

Pour la suite, on prend {n\ge2}.

7. On considère la fonction génératrice {G_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\mathbb P(T_n=k)x^k}.

Exercice 4

Soient {n\ge2}, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {A=(a_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb K)}. On dit que {A} est équitable si {\forall i,j,k\in\{1,\ldots,n\},\quad a_{i,j}=a_{i,k}a_{k,j}.}

On suppose désormais que {A} est équitable et non nulle.

9. Quelques résultats remarquables