2022-Centrale-Psi1-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — Mathématiques 1 — PSI

Notations et rappels

Pour {n,p\ge1}, {\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} est l’espace des matrices réelles à {n} lignes et {p} colonnes ; {\mathcal V_{n,p}} désigne celles dont les coefficients appartiennent à {\{-1,1\}}. On note {M^{\mathsf T}} la transposée de {M} ; une matrice est antisymétrique si {M^{\mathsf T}=-M}.

On utilise les notations {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {I_n}, {0_n}, {\operatorname{tr}M} et {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} pour les matrices carrées, l’identité, la matrice nulle, la trace et les matrices inversibles. Les puissances sont définies par {M^0=I_n} et {M^{k+1}=MM^k}.

Une matrice est nilpotente si {M^k=0_n} pour un entier {k\ge1}. Leur ensemble est noté {\mathcal N_n}. Le sous-espace engendré par une partie {U} est noté {\operatorname{Vect}(U)}.

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé discret {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. On note {\mathbb E} l’espérance et {\mathbb V} la variance, lorsqu’elles existent.

On admet le lemme des coalitions : des fonctions de deux groupes disjoints d’une famille de variables mutuellement indépendantes sont indépendantes. On munit {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} du produit scalaire euclidien canonique {\langle\cdot\mid\cdot\rangle}. On note {\operatorname{ch}} le cosinus hyperbolique.

Le problème étudie les matrices nilpotentes, puis des matrices et vecteurs aléatoires à coefficients {\pm1}. La dernière partie établit l’existence de familles de vecteurs unitaires presque orthogonaux. Les quatre parties sont largement indépendantes ; Q9 intervient en II.C, Q14 et Q16 en II.D, Q19 en IV.

I — Partie I

I.A — Résultats préliminaires

I.B — Propriétés de {\mathcal N_n}

II — Matrices aléatoires à coefficients dans {\{-1,1\}}

II.A — Résultats algébriques

Soit {(E_1,\ldots,E_n)} la base canonique de {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} et {V=\sum\limits_{k=1}^nE_k}.

Soient {C_1,\ldots,C_n} des colonnes réelles, avec {C_1\ne0}.

Soient {1\le d\le n}, une famille libre {(U_1,\ldots,U_d)} et {H=\operatorname{Vect}(U_1,\ldots,U_d)}.

II.B — Une loi de probabilité

Une variable suit la loi {\mathcal R} si elle prend les valeurs {-1,1}, chacune avec probabilité {1/2}.

II.C — Premier procédé de génération

Jusqu’à la fin de II, les {n^2} variables {m_{i,j}} sont mutuellement indépendantes et de loi {\mathcal R}. On pose {M_n=(m_{i,j})}, {\tau_n=\operatorname{tr}M_n} et {\delta_n=\det M_n}.

Pour Q23 et Q24, {n=2} et les quatre coefficients de {M_2} sont des signes indépendants équiprobables.

II.D — Généralisation

On suppose {n\ge2} et on cherche un minorant de la probabilité d’inversibilité de {M_n}.

II.D.1

Soient {c_1,\ldots,c_n,c'_1,\ldots,c'_n} des variables mutuellement indépendantes de loi {\mathcal R}.

On pose {C=(c_1,\ldots,c_n)^{\mathsf T}} et {C'=(c'_1,\ldots,c'_n)^{\mathsf T}}.

II.D.2

On reprend les colonnes {C_1,\ldots,C_n} de {M_n}. Pour {1\le j\lt n}, {R_j} est l’événement « {(C_1,\ldots,C_j)} libre et {C_{j+1}\in\operatorname{Vect}(C_1,\ldots,C_j)} ». Enfin {R_n} est l’événement « {(C_1,\ldots,C_n)} libre ».

II.D.3

III — Un autre procédé de construction

Soit {0\lt p\lt 1}, et {q=1-p}. On part de la matrice {A_0} dont tous les coefficients valent {1}. À chaque tour, les coefficients déjà égaux à {-1} sont conservés ; chacun des autres devient {-1} avec probabilité {p}, et reste {1} avec probabilité {q}. Le processus s’arrête à {-A_0}.

On suppose exécutée l’instruction import numpy as np, numpy.random as rd. On pourra utiliser np.ones((n, n)), A.shape, A.size, A.sum() et rd.binomial(1, p), qui simule une Bernoulli de paramètre {p}.

IV — Vecteurs aléatoires unitaires

Soit {n\ge1}, un sous-ensemble {I} de {\mathbb N} d’au moins deux éléments et une famille {u=(u_i)_{i\in I}} de vecteurs unitaires de {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)}.

{C(u)} est appelé paramètre de cohérence de la famille.

On veut montrer que, pour {\varepsilon\in[0,1]} et {N\le\exp(\varepsilon^2n/4)}, il existe une famille de {N} vecteurs unitaires de cohérence au plus {\varepsilon}, dite presque orthogonale.

Soient {X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n} des signes mutuellement indépendants de loi {\mathcal R}. On pose {X=n^{-1/2}(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T}} et {Y=n^{-1/2}(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathsf T}}.

Soient {\sigma,\lambda>0} et une variable réelle {Z} telle que {\mathbb E(e^{tZ})\le e^{\sigma^2t^2/2}} pour tout {t\in\mathbb R}.

Pour {N\ge1}, soient {(X_j^i)_{1\le i\le N,1\le j\le n}} des signes mutuellement indépendants de loi {\mathcal R}. On pose {X^i=n^{-1/2}(X_1^i,\ldots,X_n^i)^{\mathsf T}}.