2022-Centrale-Psi2-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — PSI — Mathématiques 2

Objectif et notations

Ce problème étudie un opérateur intégral {U} sur un espace préhilbertien réel {E}, puis relie ses vecteurs propres aux solutions d’une famille d’équations différentielles.

Les parties I et II sont largement indépendantes, sauf pour la définition de {k_x}. La partie III utilise I et II. La partie IV est indépendante de III ; la partie V utilise III, IV et la question 3.

On note {E} l’ensemble des fonctions {f} continues de {\mathbb R_+^*} dans {\mathbb R} telles que l’intégrale {\int_0^{+\infty}f(t)^2\frac{e^{-t}}t\,dt} converge. Pour {\alpha>0}, on pose {p_\alpha(t)=t^\alpha}.

I — Préliminaires : étude de quelques éléments de E

I.A — Des fonctions de E utiles pour la suite

I.B — Une condition suffisante d’appartenance à E

Dans cette sous-partie, {f\in\mathcal C^1(\mathbb R_+^*,\mathbb R)} vérifie {\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0} et, pour une constante {C>0}, {\forall x>0,\quad |f'(x)|\le C\frac{e^{x/2}}{\sqrt x}.}

II — Structure préhilbertienne de E

Pour {f,g\in E}, on pose {\langle f\mid g\rangle=\int_0^{+\infty}f(t)g(t)\frac{e^{-t}}t\,dt.}

La norme associée est {\|f\|=\left(\int_0^{+\infty}f(t)^2\frac{e^{-t}}t\,dt\right)^{1/2}.}

III — Un opérateur sur E

Pour {f\in E} et {x>0}, on définit {U(f)(x)=\langle k_x\mid f\rangle=\int_0^{+\infty}(e^{\min(x,t)}-1)f(t)\frac{e^{-t}}t\,dt.}

III.A

Pour alléger les notations, la dérivée de {U(f)} est désormais notée {U(f)'}.

III.B

On fixe {f,g\in E} et on pose {F(x)=-U(f)'(x)e^{-x}} pour {x>0}.

IV — Solutions d’une équation différentielle développables en série entière

Pour {p\in\mathbb R^*}, on note {(E_p)} l’équation, sur {\mathbb R_+^*}, {(E_p)\quad x(y''-y')+py=0.}

IV.A — Recherche de solutions polynomiales

On fixe maintenant {p\in\mathbb N^*} et un polynôme {P} solution de {(E_p)}. Pour tout {x\in\mathbb R}, on pose {h(x)=e^{-x}P(x)}. On cherche une expression de {P} en fonction de {p}.

On écrit {h(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_nx^n}. On admet, par le même calcul qu’en Q30, {\left\{\begin{array}{l}b_0=0,\\[8pt]n(n+1)b_{n+1}=-(n+p)b_n\quad(n\ge1).\end{array}\right.}

IV.B — Solutions développables en séries entières non polynomiales

On fixe ici {p\in\mathbb R^*} tel que {p\notin\mathbb N^*}.

On fixe une telle série entière et on pose, pour {x>0}, {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n}.

V — Éléments propres de U

On suppose désormais que {f} est développable en série entière de rayon infini : {\forall x>0,\quad f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n.}