2022-Inp-Psi-Corrigé

CCINP 2022 — PSI — Mathématiques

Le sujet comporte deux problèmes indépendants.

Problème 1 — Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace

Le théorème de Moivre-Laplace permet d’approcher des probabilités binomiales par des intégrales gaussiennes. Les parties I et II conduisent au calcul de l’intégrale de Gauss. La majoration de la partie III sert ensuite à établir une convergence simple vers une fonction gaussienne.

Partie I — Convergence d’une suite

Pour {n\ge1} et {0\le k\le2n}, on pose {a_{k,n}=\frac{\sqrt{2n}}{2^{2n+1}}\binom{2n}{k}.} Pour {m\in\mathbb N}, on pose {I_m=\int_0^1(1-t^2)^{m/2}\,dt.}

Partie II — Calcul d’une intégrale de Gauss

Pour {n\ge1}, on pose {J_n=\int_0^{\sqrt n}\left(1-\frac{t^2}n\right)^n\,dt} et, pour {t\ge0}, {u_n(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1-t^2/n)^n&0\le t\le\sqrt n,\\[8pt]0&t>\sqrt n.\end{array}\right.} Enfin, on considère {K=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}\,dt.}

Partie III — Calcul d’une majoration

Partie IV — Vers le théorème de Moivre-Laplace

Sur un espace probabilisé {(\Omega,\Sigma,\mathbb P)}, on considère des variables {X_n\sim\mathcal B(2n,1/2)}, et on pose {Z_n=\frac{2X_n-2n}{\sqrt{2n}}.} Pour {0\le k\le2n}, on définit {t_{k,n}=\frac{2k-2n}{\sqrt{2n}},\quad J_{k,n}=\left[t_{k,n}-\frac1{\sqrt{2n}},t_{k,n}+\frac1{\sqrt{2n}}\right[.} Les intervalles {J_{k,n}} sont deux à deux disjoints, et leur réunion est {\left[-\sqrt{2n}-\frac1{\sqrt{2n}},\sqrt{2n}+\frac1{\sqrt{2n}}\right[.} On définit {h_n} par {h_n(t)=\frac{\sqrt{2n}}2\mathbb P(X_n=k)} si {t\in J_{k,n}}, et {h_n(t)=0} en dehors de leur réunion.

La convergence simple obtenue constitue une étape vers le théorème de Moivre-Laplace suivant, dont la démonstration complète n’est pas demandée : pour tous réels {a\lt b}, {\lim_{n\to+\infty}\mathbb P(a\le Z_n\le b)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_a^be^{-t^2/2}\,dt.}

Problème 2 — Factorisation QR

Ce problème étudie les matrices de rang {1}, puis les matrices de Householder, pour établir une factorisation QR d’une matrice carrée quelconque.

On note {\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} l’ensemble des matrices réelles à {n} lignes et {p} colonnes, et {A^T} la transposée de {A}. Une matrice carrée est aussi identifiée à l’endomorphisme {X\mapsto AX}.

Une matrice est nilpotente si l’une de ses puissances d’exposant strictement positif est nulle. On munit {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} du produit scalaire canonique {\langle X,Y\rangle=X^TY} et de la norme associée. Dans tout ce problème, {n\ge2}.

Partie I — Matrices de rang 1

I.1 — Une expression des matrices de rang 1

I.2 — Quelques propriétés

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} de rang {1}.

Partie II — Matrices de Householder

II.1 — Un exemple

On définit {A=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&2\\[8pt]-2&1&2\\[8pt]2&2&1\end{pmatrix}.}

II.2 — Matrices de Householder

Pour une colonne non nulle {V}, on définit {P_V=\frac{VV^T}{\|V\|^2},\quad Q_V=I_n-2P_V.\tag{1}}

Partie III — Factorisation QR

III.1 — Un résultat préliminaire

Soient {U,V} deux colonnes de même norme. On note {D=\operatorname{Vect}(U-V)}.

III.2 — Factorisation QR