2022-Mines-Psi2-Corrigé

Mines-Ponts 2022 — PSI — Mathématiques II

Matrices de Hurwitz

Notations et rappels

L’entier {n} est strictement positif et {\mathbb K} désigne {\mathbb R} ou {\mathbb C}. On note {\mathcal M_n(\mathbb K)} l’espace des matrices carrées de taille {n}, et {\chi_M} le polynôme caractéristique de {M}.

On note {\mathbb K_n[X]} l’espace des polynômes de degré au plus {n}. On pose {\mathrm{Re}^- =\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}z\lt 0\}}.

Le produit scalaire et la norme sur {\mathbb R^n} sont les produits canoniques : {\langle X,Y\rangle=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i} et {\|X\|^2=\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}. On identifie les vecteurs à leurs colonnes de coordonnées.

Pour {X\in\mathbb C^n}, on note {\overline X} son conjugué, {\operatorname{Re}X=(X+\overline X)/2} et {\operatorname{Im}X=(X-\overline X)/(2i)}. Une matrice réelle agit sur {\mathbb R^n} comme sur {\mathbb C^n}.

Deux matrices sont semblables sur {\mathbb K} si {A=PBP^{-1}} pour une matrice inversible {P\in\mathcal M_n(\mathbb K)}. Un polynôme {R} divise {S} s’il existe {Q} tel que {S=QR}.

Les irréductibles réels sont les polynômes de degré {1} et ceux de degré {2} à discriminant strictement négatif.

Le problème relie la décroissance des solutions d’un système différentiel linéaire aux propriétés de sa matrice et de son polynôme caractéristique. Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes ; la partie 4 utilise les parties 1 et 3.

1 — Matrices semi-simples

Une matrice réelle est dite semi-simple si elle est diagonalisable sur {\mathbb C}.

Elle est dite presque diagonale si elle est de la forme {\operatorname{diag}\bigl(D,M(a_1,b_1),\ldots,M(a_q,b_q)\bigr),} où {D} est une matrice diagonale réelle de taille {p}, {p+2q=n}, et les blocs sont {M(a,b)=\begin{pmatrix}a&b\\[8pt]-b&a\end{pmatrix},\quad b\ne0.} Les blocs absents lorsque {p=0} ou {q=0} sont omis.

On pose {A=\begin{pmatrix}1&1\\[8pt]-1&3\end{pmatrix}.}

On pose {B=\begin{pmatrix}3&2\\[8pt]-5&1\end{pmatrix}.}

On considère {M\in\mathcal M_2(\mathbb R)}. Pour la question 3 seulement, ses valeurs propres sont {\mu=a+ib} et {\overline\mu=a-ib}, avec {b\ne0}.

2 — Une caractérisation des matrices diagonalisables sur C

L’espace {E} est un espace vectoriel complexe de dimension {n}, et {u} un endomorphisme de {E}. Pour les questions 7 à 9, on suppose {u} diagonalisable et on fixe une base propre {(v_1,\ldots,v_n)}.

Soit {F} un sous-espace distinct de {\{0\}} et de {E}.

On note {\mathcal A} l’ensemble des sous-espaces {H} stables par {u} tels que {F\cap H=\{0\}}, et {\mathcal L=\{\dim H:H\in\mathcal A,\ \dim H\ge1\}.}

3 — Polynômes de Hurwitz

Un polynôme réel est dit de Hurwitz si toutes ses racines complexes sont de partie réelle strictement négative.

Un polynôme est dit à coefficients strictement positifs s’il est non nul et si tous ses coefficients, du coefficient constant au coefficient dominant, sont strictement positifs.

Soient {z_1,\ldots,z_n\in\mathbb C}. On définit les polynômes unitaires {P(X)=\prod_{k=1}^n(X-z_k),\quad Q(X)=\prod_{k=1}^n\prod_{\ell=1}^n(X-z_k-z_\ell).}

4 — Système différentiel de matrice associée semi-simple

Pour {M\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, on considère {(S):X'=MX}, où {X:\mathbb R\to\mathbb R^n} est dérivable.

Si {M} est semblable sur {\mathbb R} à {T}, on considère également {(S^*):Y'=TY}.

Pour les questions 18 et 19, {n=2}. On écrit {X=(x,y)^T} et {z=x+iy}. Dans la question 18, {M=M(a,b)} avec {a,b\in\mathbb R}.

On reprend {n\ge2} et les assertions suivantes.

A1. {\chi_M} est un polynôme de Hurwitz.

A2. Toute solution de {(S)} tend vers {0} lorsque {t\to+\infty}.

A3. Il existe {\alpha>0} et {k>0} tels que toute solution {\Phi} vérifie {\forall t\ge0,\quad\|\Phi(t)\|\le ke^{-\alpha t}\|\Phi(0)\|.} On suppose d’abord que {T} vérifie {\exists\beta>0,\quad\forall X\in\mathbb R^n,\quad\langle TX,X\rangle\le-\beta\|X\|^2.\tag{C}}