2022-Centrale-Pc1-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — Mathématiques 1 — PC

Notations

Dans tout le problème, {n} désigne un entier naturel supérieur ou égal à {2}.

{\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} désigne l’ensemble des matrices réelles à {n} lignes et {p} colonnes ; {\mathcal M_n(\mathbb R)} celui des matrices carrées d’ordre {n}, {0_n} sa matrice nulle et {\mathcal S_n(\mathbb R)} son sous-espace des matrices symétriques.

{\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)} est la matrice diagonale de coefficients {a_1,\ldots,a_n}, {A^{\mathsf T}} la transposée de {A} et {\operatorname{sp}(A)} son spectre réel. Les éléments de {\mathcal M_1(\mathbb R)} sont assimilés à des réels.

Le produit scalaire canonique sur {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} est {(U\mid V)=U^{\mathsf T}V} ; sa norme est notée {\|U\|}.

Les variables aléatoires sont définies sur {(\Omega,\mathcal B,\mathbb P)}. Pour tout {p\in]0,1[}, on suppose qu’il existe sur cet espace une suite de variables de Bernoulli de paramètre {p}, mutuellement indépendantes. On note {\mathbb E(X)}, {\mathbb V(X)} et {\operatorname{cov}(X,Y)} l’espérance, la variance et la covariance, lorsqu’elles existent. On rappelle que
{\begin{array}{l}\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb E[(X-\mathbb E(X))(Y-\mathbb E(Y))]\\[8pt]\quad=\mathbb E(XY)-\mathbb E(X)\mathbb E(Y).\end{array}}Définition. Une matrice {A} est orthodiagonalisable s’il existe une matrice diagonale {D} et une matrice orthogonale {P} telles que {A=PDP^{\mathsf T}}. Orthodiagonaliser {A} consiste à déterminer un tel couple {(D,P)}.

I — Généralités sur les matrices symétriques réelles

I.A — Un exemple dans {\mathcal M_3(\mathbb R)}

On pose {A_1=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&4\\[8pt]-2&6&2\\[8pt]4&2&3\end{array}\right).}

I.B — Un exemple dans {\mathcal M_n(\mathbb R)}

I.C — Rayon spectral

Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} de spectre réel non vide, on définit {\rho(A)=\max_{\lambda\in\operatorname{sp}(A)}|\lambda|}.

I.D — Rayon spectral d’une matrice symétrique

Soit {A\in\mathcal S_n(\mathbb R)}.

On suppose de plus que les valeurs propres de {A} sont toutes positives.

II — Matrice de covariance

On considère des variables aléatoires réelles discrètes {Y_1,\ldots,Y_n} sur {(\Omega,\mathcal B,\mathbb P)} et le vecteur {Y=(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathsf T}}. Un vecteur aléatoire est dit constant lorsque la fonction correspondante est constante.

Lorsque les espérances existent, on pose {\mathbb E(Y)=(\mathbb E(Y_1),\ldots,\mathbb E(Y_n))^{\mathsf T}}. Sa matrice de covariance {\Sigma_Y} a pour coefficients {\sigma_{i,j}=\operatorname{cov}(Y_i,Y_j)} et sa variance totale est {\mathbb V_T(Y)=\sum\limits_{i=1}^n\mathbb V(Y_i)}.

Dans toute la suite, {\mathbb E(Y)} et {\Sigma_Y} sont supposées bien définies.

II.A

On admet que {Y} est une variable aléatoire discrète à valeurs dans {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)}. On admet également que {(Y-\mathbb E(Y))(Y-\mathbb E(Y))^{\mathsf T}} est une variable aléatoire discrète matricielle, dont l’espérance se calcule coefficient par coefficient.

II.B — Propriété des valeurs propres

On note {P} la matrice de passage de la base canonique à une base orthonormée de vecteurs propres de {\Sigma_Y} et on pose {X=P^{\mathsf T}Y=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T}}.

II.C — Étude de la réciproque

Soit {D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)} avec {\lambda_i\ge0}.

Soit {A\in\mathcal S_n(\mathbb R)} dont les valeurs propres sont positives.

II.D

Soit {U=(u_1,\ldots,u_n)^{\mathsf T}\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)}. On pose {X=U^{\mathsf T}Y}.

II.E — Image de {\Sigma_Y}

L’objectif est de montrer que {\mathbb P(Y-\mathbb E(Y)\in\operatorname{Im}\Sigma_Y)=1}. On note {r=\operatorname{rg}\Sigma_Y}.

On suppose maintenant {r\lt n}.

On note {d=\dim\ker\Sigma_Y} et on choisit une base orthonormée {(V_1,\ldots,V_d)} de ce noyau.

III — Maximisation de la variance

Les notations sont celles de II. On cherche un vecteur unitaire {U} maximisant la variance de {U^{\mathsf T}Y}. On reprend {C=\{U:U^{\mathsf T}U=1\}} et on pose {q_Y(U)=\mathbb V(U^{\mathsf T}Y)} sur {C}.

III.A — Un exemple dans {\mathcal M_{3,1}(\mathbb R)}

On pose {A_2=\operatorname{diag}(9,5,4)}.

III.B — Cas général

III.C — Étude d’un exemple

Dans cette sous-partie seulement, {\sigma_{i,i}=\sigma^2} et {\sigma_{i,j}=\sigma^2\gamma} pour {i\ne j}, où {\sigma,\gamma>0}. On note {J} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

III.D

On suppose que {\Sigma_Y} possède {n} valeurs propres distinctes {\lambda_1>\cdots>\lambda_n}. On choisit un vecteur unitaire {U_0} réalisant le maximum de {\mathbb V(U^{\mathsf T}Y)} sur {C}, puis on pose {C'=\{U:U^{\mathsf T}U=1,\ U_0^{\mathsf T}U=0\}}.

Ces questions de maximisation de la variance sont à la base de l’analyse en composantes principales : on cherche des combinaisons linéaires des variables initiales concentrant le maximum d’information et décorrélées entre elles.