2022-Inp-Pc-Corrigé

CCINP 2022 — Mathématiques — PC

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Étude d’un endomorphisme sur un espace de polynômes

Présentation générale. Pour {U,V\in\mathbb C[X]} avec {V\ne0}, la division euclidienne fournit un unique couple {(Q,R)} tel que {U=VQ+R}, avec {R=0} ou {\deg R\lt \deg V}. Les polynômes {Q} et {R} sont le quotient et le reste.

Soient {n\in\mathbb N^*}, {A\in\mathbb C_n[X]} et {B\in\mathbb C[X]} de degré {n+1}. On note {\varphi(P)} le reste de la division de {AP} par {B}.

Par exemple, pour {n=2}, {A=X^2}, {B=X^3-X} et {P=X^2+X+1}, on a {AP=B(X+1)+2X^2+X}, donc {\varphi(P)=2X^2+X}.

Partie I — Généralités sur {\varphi}

Soient {P_1,P_2\in\mathbb C_n[X]} et leurs divisions {AP_1=BQ_1+R_1}, {AP_2=BQ_2+R_2}, où {R_1,R_2\in\mathbb C_n[X]}.

Partie II — Étude d’un premier exemple

Dans cette partie, {n=2}, {A=X^2+2X} et {B=X^3+X^2-X-1}.

Partie III — Étude d’un second exemple

Ici {n=2}, {B=X^3} et {A=\alpha+\beta X+\gamma X^2}, avec {(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb C^3}.

Partie IV — Cas où {B} est scindé à racines simples

On reprend {n\ge1} quelconque. Les racines de {B} sont les complexes distincts {x_0,\ldots,x_n}. On définit
{L_k(X)=\prod_{\substack{0\le i\le n\\[8pt]i\ne k}}\frac{X-x_i}{x_k-x_i},}qui vérifient {L_k(x_j)=\delta_{k,j}}.

IV.1 — Décomposition avec les polynômes de Lagrange

IV.2 — Réduction de {\varphi}

On écrit {AL_k=BQ_k+R_k}, avec {R_k\in\mathbb C_n[X]}.

Exercice 2 — Étude de séries de pile ou de face

Sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, on modélise des lancers indépendants d’une pièce équilibrée. On note {P_k} l’événement « pile au {k}-ième lancer » et {F_k} son contraire.

Une série est un bloc maximal de résultats identiques. La première commence au premier lancer ; chaque changement de côté commence une nouvelle série. Par exemple, la suite {P,P,F,P,P,P,P,F,\ldots} commence par des séries de longueurs {2,1,4}. La suite {F,F,F,P,P,P,P,P,F,F,\ldots}, avec uniquement des faces à partir du neuvième lancer, a des séries de longueurs {3,5}, puis une série infinie.

Partie I — Longueur de la première série

On note {L_1} sa longueur lorsqu’elle se termine, et on pose {L_1=0} si elle ne se termine jamais. Dans les deux exemples précédents, {L_1} vaut respectivement {2} et {3}.

I.1 — Somme d’une série entière

I.2 — Étude de {L_1}

On fixe {k\ge1}.

Partie II — Nombre de séries

Pour {n\ge1}, {N_n} est le nombre de séries apparues durant les {n} premiers lancers. Dans le premier exemple, {N_1=N_2=1}, {N_3=2}, {N_4=N_5=N_6=N_7=3} et {N_8=4}.

II.1 — Généralités

II.2 — Relation de récurrence pour la loi de {N_n}

On admet les trois relations analogues :
{\begin{array}{l}\!\!\!\mathbb P(\{N_{n+1}\!=\!k\}\!\cap\! F_n\!\cap\! F_{n+1})\!=\!\tfrac12\mathbb P(\{N_n\!=\!k\}\!\cap\! F_n),\\[8pt]\!\!\!\mathbb P(\{N_{n+1}\!=\!k\}\!\cap\! P_n\!\cap\! F_{n+1})\!=\!\tfrac12\mathbb P(\{N_n\!=\!k\!-\!1\}\!\cap\! P_n),\\[8pt]\!\!\!\mathbb P(\{N_{n+1}\!=\!k\}\!\cap\! F_n\!\cap\! P_{n+1})\!=\!\tfrac12\mathbb P(\{N_n\!=\!k\!-\!1\}\cap F_n)\end{array}}

II.3 — Fonction génératrice, loi et espérance de {N_n}

On pose {G_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m\mathbb P(N_m=k)x^k} pour {x\in\mathbb R} ; en particulier, {G_1(x)=x}.

Exercice 3 — La constante d’Euler

On construit d’abord la constante d’Euler comme limite d’une suite, puis on en donne une expression intégrale.

Partie I — Construction de la constante

On pose {u_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k-\ln n} pour {n\ge1} et {\Delta_n=u_n-u_{n-1}} pour {n\ge2}.

Partie II — Expression intégrale de la constante d’Euler

Pour {n\ge1}, on définit sur {]0,+\infty[}{f_n(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1-t/n)^n\ln t&\text{si }t\lt n,\\[8pt]0&\text{si }t\ge n.\end{array}\right.}

II.1 — Propriétés de {(f_n)}

On pourra utiliser {\ln(1+x)\le x} pour {x>-1}.

II.2 — Convergence d’une suite d’intégrales

On pose {I_n=\int_0^\infty f_n(t)\,dt=\int_0^n(1-t/n)^n\ln t\,dt} et {J_n=\int_0^1u^n\ln(1-u)\,du}. On fixe {n\ge1}.