Mines-Ponts 2022 — Mathématiques II — PC
Le théorème matriciel de Kreiss
Soit {n\ge1}. Pour {X=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf T}\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)}, on pose {\|X\|=(\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^2)^{1/2}}, dont on admet qu’il s’agit d’une norme. Sa sphère unité est {\Sigma_n=\{X:\|X\|=1\}}.
On identifie {\mathcal M_{1,1}(\mathbb C)} à {\mathbb C}. Ainsi {X^{\mathsf T}MY} est un scalaire complexe ; le symbole {\mathsf T} désigne la transposition, sans conjugaison.
Pour {M\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, on note {\chi_M} son polynôme caractéristique, {\sigma(M)} son spectre et {(M)_{i,j}} son coefficient de ligne {i}, colonne {j}. Pour {z\notin\sigma(M)}, on pose {R_z(M)=(zI_n-M)^{-1}}.
Enfin, {\mathbb U=\{z:|z|=1\}} et {\mathbb D=\{z:|z|\le1\}}. Les parties 4 et 5 sont indépendantes des trois premières ; dans la partie 3, les questions 7 à 10 sont indépendantes de 5 et 6.
1 — Norme d’opérateur sur {\mathcal M_n(\mathbb C)}
1. Justifier que {X\mapsto\|MX\|} atteint son maximum sur {\Sigma_n}, noté {\|M\|_{\rm op}}. Établir
{\begin{array}{rl}\|M\|_{\rm op}&=\max_{X\ne0}\frac{\|MX\|}{\|X\|},\\[8pt]\displaystyle\|M'M\|_{\rm op}&\le\|M'\|_{\rm op}\|M\|_{\rm op}\end{array}}
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On admet que {\|\cdot\|_{\rm op}} est une norme sur {\mathcal M_n(\mathbb C)}.
2. Pour {U\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)}, montrer {\max_{V\in\Sigma_n}|V^{\mathsf T}U|=\|U\|}. En déduire
{\max_{X,Y\in\Sigma_n}|X^{\mathsf T}MY|=\|M\|_{\rm op}.}
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2 — L’ensemble {\mathcal B_n}
On note {\mathcal B_n} l’ensemble des matrices {M} dont les puissances sont bornées en norme d’opérateur. Pour {M\in\mathcal B_n}, on pose {b(M)=\sup_{k\in\mathbb N}\|M^k\|_{\rm op}}.
3. Pour {M\in\mathcal B_n} et {X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)}, montrer que {(\|M^kX\|)} est bornée. Si {X} est propre associé à {\lambda}, exprimer {M^kX}, puis en déduire {\sigma(M)\subset\mathbb D}.
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4. Pour {n\ge2}, donner une matrice triangulaire supérieure dont le spectre est dans {\mathbb D}, mais qui n’appartient pas à {\mathcal B_n}.
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3 — Résolvante d’un élément de {\mathcal M_n(\mathbb C)}
Une matrice vérifie {\mathcal P} si, pour chaque {(i,j)}, il existe {P_{M,i,j}\in\mathbb C_{n-1}[X]} tel que {(R_z(M))_{i,j}=P_{M,i,j}(z)/\chi_M(z)} pour {z\notin\sigma(M)}.
5. Montrer que les matrices diagonalisables vérifient {\mathcal P}, en commençant par les matrices diagonales.
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6. On admet que toute matrice vérifie {\mathcal P}. Montrer qu’il existe {P_{M,X,Y}\in\mathbb C_{n-1}[X]} tel que {X^{\mathsf T}R_z(M)Y=P_{M,X,Y}(z)/\chi_M(z)}.
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7. Soient {M\in\mathcal B_n} et {|z|>1}. Montrer que {\sum\limits_{j\ge0}M^j/z^{j+1}} converge. On admet qu’en dimension finie la convergence de la série des normes entraîne celle de la série vectorielle. Simplifier {(zI_n-M)\sum\limits_{j=0}^mM^j/z^{j+1}}, puis en déduire
{R_z(M)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{M^j}{z^{j+1}}.}
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Pour {M\in\mathcal B_n} et {|z|>1}, on pose {\varphi_M(z)=(|z|-1)\|R_z(M)\|_{\rm op}}.
8. Déduire de Q7 que {\varphi_M(z)\le b(M)} pour {|z|>1}
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Soit {(c_j)} une suite complexe telle que {\sum\limits_{j\ge0}|c_j|\lt +\infty}. On pose {u(t)=\sum\limits_{j=0}^\infty c_je^{-i(j+1)t}} pour {t\in\mathbb R}.
9. Justifier l’existence et la continuité de {u}, puis montrer pour {k\in\mathbb N} que
{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u(t)e^{i(k+1)t}\,dt=c_k.}
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10. Pour {M\in\mathcal B_n}, {r>1} et des vecteurs {X,Y}, déterminer une suite absolument sommable {(c_j)} telle que {X^{\mathsf T}R_{re^{it}}(M)Y=\sum\limits_{j=0}^\infty c_je^{-i(j+1)t}}. En déduire une expression intégrale de {X^{\mathsf T}M^kY}.
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4 — Variation totale et norme uniforme
On note {\mathcal C^1=\mathcal C^1([-\pi,\pi],\mathbb C)} et, pour {f\in\mathcal C^1}, {\|f\|_\infty=\max_{[-\pi,\pi]}|f|} et {V(f)=\int_{-\pi}^{\pi}|f'(t)|\,dt}.
11. Montrer, à l’aide d’une suite de fonctions, qu’il n’existe pas de {C>0} tel que {V(f)\le C\|f\|_\infty} pour toute {f\in\mathcal C^1}.
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Soit maintenant {f\in\mathcal C^1} à valeurs réelles. On suppose que ses points critiques intérieurs sont en nombre fini {\ell}, notés {t_1\lt \cdots\lt t_\ell}. On pose {t_0=-\pi} et {t_{\ell+1}=\pi}.
12. Montrer que
{V(f)=\sum\limits_{j=0}^\ell|f(t_{j+1})-f(t_j)|}.
Pour {0\le j\le\ell}, l’énoncé définit {\psi_j} comme l’indicatrice de {[f(t_j),f(t_{j+1})[} et demande de montrer{V(f)=\sum_{j=0}^\ell\int_{-\|f\|_\infty}^{\|f\|_\infty}\psi_j(y)\,dy.}
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13. Montrer que {f^{-1}(\{y\})\cap[-\pi,\pi[} est fini de cardinal {N(y)\le\ell+1}. Exprimer {N(y)} avec les {\psi_j(y)}, puis en déduire
{V(f)\le2\max_{y\in\mathbb R}N(y)\,\|f\|_\infty.}
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5 — L’inégalité de Spijker
Une fraction rationnelle est un quotient {F=P/Q}, avec {P,Q\in\mathbb C[X]} et {Q\ne0}. Dans une écriture sans racine commune, les pôles sont les racines de {Q}.
On note {\mathcal R_n} les fractions sans pôle sur {\mathbb U} admettant une écriture avec {\deg P,\deg Q\le n}. On fixe une telle écriture où {Q} ne s’annule pas sur {\mathbb U}.
Pour {t\in[-\pi,\pi]}, on pose {f(t)=F(e^{it})=g(t)+ih(t)}. Pour {u\in[-\pi,\pi]}, on définit
{f_u(t)=g(t)\cos u+h(t)\sin u=\operatorname{Re}(e^{-iu}f(t)).}
14. Fixons {u} tel que {f_u} ne soit pas constante et {y\in\mathbb R}. Déterminer {S\in\mathbb C_{2n}[X]} tel que {f_u(t)=y\iff S(e^{it})=0}. En déduire que {f_u^{-1}(\{y\})\cap[-\pi,\pi[} a au plus {2n} éléments.
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15. Calculer {\int_{-\pi}^{\pi}|\cos(u-\omega)|\,du} pour {\omega\in\mathbb R}, puis montrer
{\int_{-\pi}^{\pi}|a\cos u+b\sin u|\,du=4\sqrt{a^2+b^2}.}
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16. Exprimer {\int_{-\pi}^{\pi}(\int_{-\pi}^{\pi}|f_u’(t)|\,du)\,dt} en fonction de {V(f)}.
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17. On admet la permutation des deux intégrales de Q16. On admet aussi que, si {f_u} n’est pas constante, sa dérivée ne s’annule qu’en un nombre fini de points intérieurs. En déduire {V(f)\le2\pi n\|f\|_\infty}.
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6 — Version de Spijker du théorème matriciel de Kreiss
Soit {M\in\mathcal B_n}. On pose {b'(M)=\sup_{|z|>1}\varphi_M(z)} ; Q8 assure {b'(M)\le b(M)}. On cherche une majoration réciproque.
Dans Q18 et Q19, on fixe {r>1} et {(X,Y)\in\Sigma_n^2}. Pour {\rho>0}, on pose {\mathbb D_\rho=\{z:|z|\le\rho\}}.
18. Montrer qu’il existe {F_r\in\mathcal R_n}, de pôles dans {\mathbb D_{1/r}}, telle que
{|F_r(z)|\le\frac{b'(M)}{r|z|-1}\quad(|z|>1/r),}et, pour {k\in\mathbb N},
{X^{\mathsf T}M^kY=\frac{r^{k+1}}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_r(e^{it})e^{i(k+1)t}\,dt.}
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19. À l’aide d’une intégration par parties et de Q17, montrer
{|X^{\mathsf T}M^kY|\le\frac{r^{k+1}}{(k+1)(r-1)}\,n b'(M).}
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20. Démontrer finalement {b(M)\le enb’(M)}.
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Ce résultat de M. N. Spijker (1991) améliore un théorème de H. O. Kreiss (1962). La constante {en} est asymptotiquement optimale.