2022-Cnm-Mp1-Corrigé

Concours national commun 2022 — MP — Mathématiques I

Calculatrice interdite. Un exercice et un problème indépendants.

Exercice — Calcul d’intégrales

Soit {\lambda\in\mathbb C\setminus[-1,1]}. On pose {P_\lambda=X^2+2\lambda X+1,\quad F_\lambda(x)=\frac1{\lambda+\cos x}.}Le dénominateur de {F_\lambda} ne s’annule pas sur {\mathbb R}. La notation {F_\alpha} figurant à quelques endroits du sujet est une coquille : il s’agit toujours de {F_\lambda}.

0.1 — Racines de Pλ

On note {z_1,z_2} les racines complexes, rangées de sorte que {|z_1|\leq|z_2|}.

0.3 — Développement en série trigonométrique

0.4 — Application au calcul d’intégrales

Pour {n\geq1}, on pose {w_n(x)=z_1^n\cos(nx)}.

Problème — Étude d’une série entière

Correction de notation. Dans la définition imprimée de {\binom\alpha n}, le dénominateur doit être {n!}, et non {n}. C’est aussi la convention nécessaire à la définition de {b_n} et à la formule de Newton utilisées ensuite.

On pose donc {\begin{array}{l}\displaystyle \binom\alpha0=1,\quad\binom\alpha n\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\quad(n\geq1).\end{array}}La suite étudiée est définie par {b_n=\int_0^1\binom tn\,dt\quad(n\geq0),}en particulier {b_0=1}. Le but est de déterminer le rayon de convergence de {\sum b_nz^n}, sa somme sur l’intervalle ouvert de convergence, puis son comportement aux bornes.

1 — Quelques résultats préliminaires

1.1 — Une inégalité utile

Soit {\varphi\in\mathcal C^2([0,1])} telle que {\varphi''\leq0} et {\varphi(0)=\varphi(1)=0}.

1.2 — Convergence d’une intégrale et d’une série

1.3 — Formule du binôme généralisée

Pour {N\in\mathbb N}, la formule de Newton donne {(1+x)^N=\sum\limits_{n=0}^N\binom Nn x^n}. On veut l’étendre à un réel {\alpha\notin\mathbb N}.

On définit {f_\alpha(x)=(1+x)^\alpha} sur {]-1,+\infty[}.

1.3.2. Soit une série entière {\sum a_nx^n}, de rayon {R>0}, dont la somme {\psi} est solution de cette équation sur {]-r,r[}, où {r=\min(R,1)}.

2 — Rayon et somme de la série entière

On rappelle {b_n=\int_0^1\binom tn\,dt}, en particulier {b_0=1}.

Pour {x\in]-1,1[} fixé, on définit sur {[0,1]} la fonction {u_n(t)=\binom tn x^n}.

Pour montrer {R_1=1}, on suppose par l’absurde {R_1>1} et l’on note {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_nx^n} sur {]-R_1,R_1[}.

3 — Comportement aux bornes de l’intervalle de convergence

Pour {n\geq2} et {t\in[0,1]}, on pose {h_n(t)=t\ln n+\sum_{k=2}^n\ln\left(1-\frac tk\right).}3.1 — Étude de la suite (hₙ)

On définit {v_n(t)=\ln\left(1-\frac tn\right)-t\ln\left(1-\frac1n\right).}L’énoncé numérote deux questions successives 3.1.3. Nous conservons ce doublon en précisant chaque occurrence.

3.2 — Recherche d’un équivalent de bₙ

3.2.6. On définit {g} sur {[0,+\infty[} par {g(t)=(1-t)e^{h(t)}} si {0\leq t\leq1}, et {g(t)=0} si {t>1}.

3.3 — Retour aux bornes de l’intervalle de convergence

On note encore {f} sa somme sur {[-1,1]} : {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_nx^n}.