I. Intégrales dépendant d’un paramètre
On fixe {a>0} et l’on étudie, pour {x\in\mathbb R}, les intégrales {J(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi at^2}e^{i\pi xt}\,dt,}{K(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi at^2}\cos(\pi xt)\,dt.}
1°) On rappelle que {\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi}. En déduire la convergence et la valeur de {J(0)}.
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2°) Calcul de {J(x)} et d’une intégrale associée.
2°) a) Justifier la convergence de {J(x)} pour tout réel {x}.
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2°) b) Établir que {J} est de classe {C^1} sur {\mathbb R} et donner une expression intégrale de {J'(x)}.
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2°) c) Établir que {J} est solution de {y'+\frac{\pi x}{2a}y=0}.
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2°) d) En déduire {J(x)}, puis montrer la convergence de {K(x)} et l’égalité {K(x)=a^{-1/2}e^{-\pi x^2/(4a)}}.
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II. Étude de la somme d’une série
Soit {g:[-1/2,1/2]\to\mathbb C} de classe {C^2}. Pour {n\in\mathbb N}, on pose {a_n(g)=\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\cos(2\pi nx)\,dx.}3°) Une fonction auxiliaire. Pour {x\ne0}, on pose {h(x)=(g(x)-g(0))/\sin(\pi x)}.
3°) a) Déterminer la limite {L} de {h(x)} en zéro. On prolonge désormais {h} par continuité en posant {h(0)=L}.
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3°) b) Exprimer {h'(x)} pour {x\ne0} et préciser sa limite {L'} en zéro.
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3°) c) En déduire que {h} est de classe {C^1} sur {[-1/2,1/2]} et préciser {h'(0)}.
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4°) Calcul d’une somme trigonométrique.
4°) a) Vérifier par récurrence, pour {p\ge1} et {x\in[-1/2,1/2]\setminus\{0\}}, {\begin{array}{l}\displaystyle 1+2\sum_{n=1}^p\cos(2\pi nx)\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac{\sin((2p+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}.\end{array}}L’égalité se prolonge-t-elle par continuité en zéro ?
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4°) b) En déduire que, pour tout {p\in\mathbb N}, {\int_{-1/2}^{1/2}\frac{\sin((2p+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}\,dx=1.}
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5°) Convergence et somme de {\sum a_n(g)}.
5°) a) Établir, pour {p\ge1}, {\begin{array}{l}a_0(g)+2\displaystyle\sum_{n=1}^pa_n(g)\\[8pt]\displaystyle\quad=g(0)\\[8pt]\displaystyle\quad+\int_{-1/2}^{1/2}(g(x)-g(0))\frac{\sin((2p+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}\,dx.\end{array}}
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5°) b) En utilisant 3 et une intégration par parties, en déduire que {a_0(g)+2\sum_{n=1}^{\infty}a_n(g)=g(0).}
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III. Formule sommatoire de Poisson
On fixe {a>0} et l’on pose {f_a(x)=e^{-\pi ax^2}}. Sous réserve de convergence, on définit {g_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_a(x-k)+f_a(x)+\sum_{k=1}^{\infty}f_a(x+k).}On note aussi {g_a(x)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_a(x+k)}.
6°) Propriétés de {g_a}.
6°) a) Établir la convergence des deux séries définissant {g_a(x)} pour tout réel {x}.
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6°) b) Montrer que {g_a} est {1}-périodique.
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6°) c) Justifier la convergence de {\sum\limits_{k\ge1}e^{-\pi ak^2}e^{2ka\pi A}} pour {A>0}. En déduire la convergence normale des deux séries sur {[-A,A]}, puis la continuité de {g_a} sur {\mathbb R}.
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6°) d) Établir que {g_a} est de classe {C^1} sur {\mathbb R}. On admettra de même qu’elle est de classe {C^2}.
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7°) La formule sommatoire de Poisson et son application.
7°) a) Justifier, pour {n\in\mathbb N}, {\begin{array}{l}\displaystyle a_n(g_a)\\[8pt]\displaystyle \quad=\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{-1/2}^{1/2}f_a(x+k)\cos(2\pi nx)\,dx.\end{array}}
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7°) b) Par le changement de variable {t=x+k}, en déduire {a_n(g_a)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_a(t)\cos(2\pi nt)\,dt,}puis sa valeur sans signe intégral à l’aide de la partie I.
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7°) c) Déduire de la partie II que { 1+2\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\pi ak^2}=\frac1{\sqrt a}+\frac2{\sqrt a}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2/a}.}
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7°) d) Vérifier que {e^{-\pi n^2/a}\le e^{-\pi n/a}} pour {n\in\mathbb N}, puis en déduire, lorsque {a\to0^+}, {1+2\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\pi ak^2}=\frac1{\sqrt a}+o(1).}
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IV. Étude aux bornes d’une série entière
8°) On considère {\begin{array}{l}\displaystyle S(x)=\frac12+\sum_{k=1}^{\infty}x^{k^2}\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac12+x+x^4+x^9+x^{16}+\cdots.\end{array}}
8°) a) Quel est le rayon de convergence ? Sur quel intervalle réel la série est-elle définie ?
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8°) b) En posant {t=1-x}, pour {x\in]0,1[}, démontrer {\lim_{x\to1^-}\left(\frac1{\sqrt{1-x}}-\frac1{\sqrt{-\ln x}}\right)=0.}En déduire, avec la partie III, {S(x)=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt{1-x}}+o(1).}
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8°) c) Déterminer {C\in\mathbb R} tel que, pour {x\to1^-}, {S(x^4)=C/\sqrt{1-x}+o(1)}.
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8°) d) Pour {|x|\lt 1}, exprimer {S(x)+S(-x)} en fonction de {S(x^4)}.
En déduire que {\lim\limits_{x\to-1^+}S(x)=0}.
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