2022-Centrale-Mp1-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — MP — Mathématiques 1

Exemples de contraintes symplectiques linéaires

Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.

Notations

Les entiers {n,m} sont strictement positifs. On note {\mathcal M_{p,q}(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles à {p} lignes et {q} colonnes, {\mathcal M_n(\mathbb R)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb R)}, {I_n} l’identité et {A^\top} la transposée de {A}.

On note {\mathcal S_n(\mathbb R)} les matrices symétriques, {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} les matrices inversibles, {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)} celles de déterminant {1}, et {\mathrm O_n(\mathbb R)} celles vérifiant {A^\top A=I_n}.

Le produit scalaire canonique et sa norme sont notés {\langle\cdot,\cdot\rangle} et {\|\cdot\|}. Pour un espace réel {E}, on note {\mathcal L(E)} ses endomorphismes et {\mathcal L(E,\mathbb R)} ses formes linéaires.

Objectif

On définit les espaces symplectiques réels, puis on étudie les endomorphismes qui préservent leur forme. Après des préliminaires et les définitions, on montre que les matrices symplectiques réelles ont pour déterminant {1}, puis on examine des contraintes de plongement linéaire. Les deux dernières parties sont largement indépendantes.

I — Préliminaires

II — Objets symplectiques

II.A — Structure d’espace vectoriel symplectique réel

Soit {E} un espace réel de dimension finie {n}. Une forme symplectique sur {E} est une application {\omega:E^2\to\mathbb R} bilinéaire, antisymétrique et non dégénérée. Les deux dernières conditions signifient {\begin{array}{l}\omega(x,y)=-\omega(y,x),\\[8pt]\{x\in E:\forall y\in E,\ \omega(x,y)=0\}=\{0\}.\end{array}}L’espace {E} muni de cette forme est appelé espace vectoriel symplectique réel et noté {(E,\omega)}.

Pour un sous-espace {F} de {E}, on définit son {\omega}-orthogonal par {F^\omega=\{x\in E:\forall y\in F,\ \omega(x,y)=0\}.}On fixe un tel sous-espace {F}.

Pour {x\in E}, on note {\omega(x,\cdot)} la forme linéaire {y\mapsto\omega(x,y)}, et l’on pose {d_\omega(x)=\omega(x,\cdot)}.

II.B — Structure symplectique standard sur ℝⁿ

On suppose qu’il existe une forme symplectique {\omega} sur {\mathbb R^n}. Dans la base canonique {(e_1,\ldots,e_n)}, on définit {\Omega=(\omega(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}.}

Jusqu’à la fin du problème, on écrit {n=2m} et l’on pose {J=\left(\begin{array}{cc}0&-I_m\\[8pt]I_m&0\end{array}\right).}On note {j} l’endomorphisme canoniquement associé à {J}.

La forme {b_s} est appelée forme symplectique standard.

II.C — Endomorphismes et matrices symplectiques réels

Un endomorphisme {u} de {(E,\omega)} est symplectique s’il vérifie {\omega(u(x),u(y))=\omega(x,y)} pour tous {x,y}. Leur ensemble est noté {\operatorname{Symp}_\omega(E)}.

Soit {u\in\operatorname{Symp}_\omega(E)} et soient {\lambda,\mu} deux valeurs propres réelles, d’espaces propres {E_\lambda(u),E_\mu(u)}.

Soit {u\in\mathcal L(\mathbb R^n)}, de matrice canonique {M}.

Une matrice {M} vérifiant {M^\top JM=J} est dite symplectique. On note {\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R):M^\top JM=J\}.}

Ce groupe est appelé groupe symplectique réel d’ordre {n=2m}. On considère maintenant {M=\left(\begin{array}{cc}A&B\\[8pt]C&D\end{array}\right),\quad A,B,C,D\in\mathcal M_m(\mathbb R).}

III — Déterminant d’une matrice symplectique réelle

On veut montrer {\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)\subset\mathrm{SL}_n(\mathbb R)} par deux méthodes.

III.A — Le cas de la dimension 2

III.B — Commutant de J

On note {\mathcal C_J=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R):JM=MJ\}}.

III.C — Décomposition polaire d’une matrice symplectique réelle

On note {\operatorname{OSp}_n(\mathbb R)=\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)\cap\mathrm O_n(\mathbb R)}. L’espace matriciel est muni de sa topologie usuelle de dimension finie.

On fixe désormais {M\in\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)}, et une matrice symétrique {S} à valeurs propres strictement positives telle que {S^2=M^\top M}, dont Q2 assure l’existence.

III.D — Génération par les transvections symplectiques

Soit {(E,\omega)} symplectique de dimension {n=2m}. Une transvection de {E} est un endomorphisme de la forme {\tau(x)=x+\ell(x)a}, où {\ell\in\mathcal L(E,\mathbb R)} et {a\in\ker\ell}.

III.D.1 — Transvection symplectique

Les applications {\tau_a^\lambda}, pour {a\ne0} et {\lambda\in\mathbb R}, sont appelées transvections symplectiques.

On veut établir le théorème suivant : tout {u\in\operatorname{Symp}_\omega(E)} est une composée d’au plus {2n=4m} transvections symplectiques.

III.D.2 — Un lemme

Pour tous {x,y\ne0}, on veut construire une composée {\gamma} d’au plus deux transvections symplectiques telle que {\gamma(x)=y}. On fixe ces deux vecteurs.

III.D.3 — Le théorème

Soit {u\in\operatorname{Symp}_\omega(E)} et {e_1\ne0}.

On pose {P=\operatorname{Vect}(e_1,f_1)}. On cherche une composée {\delta} d’au plus quatre transvections telle que {\delta(u(e_1))=e_1,\quad\delta(u(f_1))=f_1.}

La composée {\delta=\delta_2\circ\delta_1} comporte au plus quatre transvections et vérifie les deux conditions souhaitées. On pose {v=\delta\circ u}.

III.D.4 — Une conséquence topologique

L’espace {\mathcal M_n(\mathbb R)} reste muni de sa topologie usuelle.

III.D.5 — Deuxième conséquence

IV — Exemples de plongements symplectiques linéaires

On fixe {n=2m\geq4}. On note {\mathrm{SL}(\mathbb R^{2m})} les endomorphismes de déterminant {1}. Pour {r\geq0}, on définit la boule euclidienne fermée et le cylindre symplectique par {\begin{array}{l}B^{2m}(r)=\left\{(x,y):\displaystyle\sum_{i=1}^m(x_i^2+y_i^2)\leq r^2\right\},\\[8pt]Z^{2m}(r)=\{(x,y):x_1^2+y_1^2\leq r^2\}.\end{array}}On étudie l’existence d’un endomorphisme envoyant une telle partie dans une autre, avec la contrainte d’être de déterminant {1}, puis avec la contrainte d’être symplectique.

IV.A — Injection d’une boule dans un cylindre par un élément de SL

IV.B — Injection d’une boule dans une autre par un élément de SL

On suppose {r>0} et {u\in\mathrm{SL}(\mathbb R^{2m})} tels que {u(B^{2m}(1))\subset B^{2m}(r)}. On note {U} sa matrice canonique et {\lambda\in\mathbb C} une valeur propre de {U}.

IV.C — Injection symplectique d’une boule dans un cylindre

On suppose {r>0} et {\psi\in\operatorname{Symp}_{b_s}(\mathbb R^{2m})} tels que {\psi(B^{2m}(1))\subset Z^{2m}(r)}. On note {M} sa matrice dans la base canonique {(e_1,\ldots,e_m,f_1,\ldots,f_m)}, et {\psi^\top} l’endomorphisme de matrice {M^\top}.