2022-Mines-Mp2-Corrigé

Autour des exponentielles de matrices

On travaille sur {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, avec {n\ge2}. La norme matricielle vérifie {\|I_n\|=1} et {\|AB\|\le\|A\|\|B\|}. On rappelle {e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}.}L’application {f_A(t)=e^{tA}} est de classe {C^1} sur {\mathbb R}, avec {f_A'(t)=Ae^{tA}=e^{tA}A}. On admet aussi {e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^AP} pour {P} inversible.

Le crochet de Lie est {[A,B]=AB-BA}.

1. Questions préliminaires

Dans les questions 1 et 2, on suppose {AB=BA}.

On pose {g(t)=e^{t(A+B)}e^{-tB}}.

2. Formule de Trotter-Kato

On ne suppose plus {A,B} commutantes. Pour {k\ge1}, on pose {X_k=e^{A/k}e^{B/k},\quad Y_k=e^{(A+B)/k}.}On veut établir {X_k^k\to e^{A+B}}.

On introduit {h(t)=e^{tA}e^{tB}-e^{t(A+B)}}.

3. Vers les algèbres de Lie

On travaille désormais sur {\mathbb R}. Pour un sous-groupe fermé {G} de {GL_n(\mathbb R)}, on pose {\mathcal A_G=\{M\in M_n(\mathbb R):\forall t\in\mathbb R,\ e^{tM}\in G\}.}On admet que {SL_n(\mathbb R)=\{M:\det M=1\}} et {O_n(\mathbb R)} sont des sous-groupes fermés de {GL_n(\mathbb R)}.

Dans les questions 11 à 14, {G} est un sous-groupe fermé quelconque de {GL_n(\mathbb R)}.

Une matrice {M} est tangente à {G} en {I_n} s’il existe une courbe dérivable {\gamma:]-\varepsilon,\varepsilon[\to G} telle que {\gamma(0)=I_n} et {\gamma'(0)=M}. On note {T_{I_n}(G)} l’ensemble de ces matrices. On rappelle que le déterminant est différentiable, car polynomial.

4. Comportement asymptotique

Étude d’un exemple. Soient {\alpha,\beta\in\mathbb C} distincts. On suppose que {A\in M_3(\mathbb C)} a pour valeurs propres {\alpha}, simple, et {\beta}, double.

Cas général. On travaille sur {E=\mathbb C^n}, muni d’une norme quelconque {\|\cdot\|_E}. Soit {u} l’endomorphisme associé à {A\in M_n(\mathbb C)}, et {v_{ij}(t)} les coefficients de {e^{tA}}.

Pour chaque valeur propre {\lambda}, on note {m_\lambda} sa multiplicité et {\begin{array}{l}\displaystyle F_\lambda=\ker(A-\lambda I_n)^{m_\lambda},\quad\alpha\\[8pt]\displaystyle \quad=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}\operatorname{Re}\lambda.\end{array}}

On définit les polynômes {P_s(X)=\prod_{\operatorname{Re}\lambda\lt 0}(X-\lambda)^{m_\lambda},}{\begin{array}{l}\displaystyle P_i(X)=\prod_{\operatorname{Re}\lambda>0}(X-\lambda)^{m_\lambda},\\[12pt]\quad P_n(X)\displaystyle \quad=\prod_{\operatorname{Re}\lambda=0}(X-\lambda)^{m_\lambda},\end{array}}où les produits portent sur le spectre de {A} et un produit vide vaut {1}. On pose {E_s=\ker P_s(A)}, {E_i=\ker P_i(A)} et {E_n=\ker P_n(A)} : ce sont les espaces stable, instable et neutre.