Mines–Ponts 2024 — PSI — Mathématiques 2
Étude de marche aléatoire
Notations
Pour des entiers {n,k}, on utilise la convention {\binom nk=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}&\text{si }0\leq k\leq n,\\[8pt]0&\text{sinon}.\end{array}\right.}On pourra utiliser sans démonstration l’équivalent de Stirling : {n!\sim\left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}.}
1 — Une propriété sur les sommes de Riemann
Pour {a\lt b}, on note {\mathcal D_{a,b}} l’ensemble des fonctions continues et intégrables sur {]a,b[} qui vérifient {\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}f\left(a\!+\!k\frac{b\!-\!a}{n}\right)\displaystyle=\frac1{b\!-\!a}\int_a^b\!f(t)dt}
1. Soit {f:[a,b]\to\mathbb R} continue. Démontrer que sa restriction {g} à {]a,b[} appartient à {\mathcal D_{a,b}}.
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2. Pour
{k\geq1}, on pose
{a_k=1/k-1/2^{k+1}} et
{b_k=1/k+1/2^{k+1}}. Montrer qu’on peut choisir
{k_0\geq1} tel que
{b_{k+1}\lt a_k} pour tout
{k\geq k_0}.
En déduire que la fonction {f:]0,1[\to\mathbb R} suivante est bien définie, continue et intégrable, mais n’appartient pas à {\mathcal D_{0,1}} :
Pour chaque {k\geq k_0}, {\begin{array}{l}f(t)=k^22^{k+1}(t-a_k)\\[8pt]\quad\text{si }t\in[a_k,1/k],\\[8pt]f(t)=k^22^{k+1}(b_k-t)\\[8pt]\quad\text{si }t\in[1/k,b_k[;\end{array}}et {f(t)=0} dans les autres cas.
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Dans la suite, on considère {h(t)=\frac1{\sqrt{t(1-t)}}\quad(0\lt t\lt 1).}
3. Montrer que {\varphi(t)=1/\sqrt t} est intégrable sur {]0,1[}, puis que {\varphi\in\mathcal D_{0,1}}.
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4. On note {\widetilde h} la restriction de {h} à {]0,1/2]}. Vérifier qu’elle est décroissante sur {]0,1/2[}, puis montrer que {\widetilde h\in\mathcal D_{0,1/2}}.
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5. Montrer que {h} est intégrable sur {]0,1[} et que {\int_0^1h(t)\,dt=2\int_0^{1/2}\widetilde h(t)\,dt.}
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6. Prouver que {\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{2n-1}\frac1{2n}h\left(\frac{k}{2n}\right)=\int_0^1h(t)\,dt}
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7. Montrer que {\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{2n+1}h\left(\frac{k}{2n+1}\right)=\int_0^{1/2}h(t)\,dt}En déduire que {\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac1{2n+1}h\left(\frac{k}{2n+1}\right)=\int_0^1h(t)\,dt}
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8. Déduire des questions précédentes que {h\in\mathcal D_{0,1}}.
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9. Montrer que {\int_0^1h(t)\,dt=\pi}.
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10. Montrer que {\sum\limits_{k=1}^n1/\sqrt k\sim\lambda\sqrt n}, en précisant {\lambda}.
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11. En déduire la limite de {\sum\limits_{i=1}^{n-1}1/\sqrt{i(n-i)}}.
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On considère une suite {(\varepsilon_n)_{n\geq1}} de réels strictement supérieurs à {-1}, convergeant vers {0}.
12. Montrer que {\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{|\varepsilon_i|}{\sqrt{i(n-i)}}=0.}
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13. En déduire que {\sum_{i=1}^{n-1}\left[\frac1{\sqrt{i(n\!-\!i)}}\!\left(\frac{(1\!+\!\varepsilon_i)(1\!+\!\varepsilon_{n-i})}{1\!+\!\varepsilon_n}\!-\!1\right)\!\right]\to0}
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2 — Une étude de marche aléatoire
Sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, les variables {(X_n)_{n\geq1}} sont mutuellement indépendantes, centrées, et à valeurs dans {\{-1,1\}}. On pose {S_n=\sum_{k=1}^nX_k.}
14. Montrer que {(1+X_n)/2} suit une loi de Bernoulli de paramètre {1/2}.
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On fixe {n\geq1}. Un chemin est un {2n}-uplet {\gamma=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{2n})\in\{-1,1\}^{2n}}. Un entier {k\in\llbracket1,2n\rrbracket} est un indice d’égalité si {\sum\limits_{i=1}^k\varepsilon_i=0}, c’est-à-dire si les {k} premières composantes comprennent autant de {1} que de {-1}.
La variable {N_n} compte les indices d’égalité du chemin aléatoire {(X_1,\ldots,X_{2n})}. Pour {1\leq i\leq n}, on note {A_i=\{S_{2i}=0\}}.
15. Calculer {\mathbb P(A_i)} pour {1\leq i\leq n}.
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16. Soient {\ell\in\mathbb Z} et {n\geq1}. Calculer {\mathbb P(S_n=\ell)} en distinguant les parités de {\ell-n}.
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Théorème admis. Si {(a_n)} et {(b_n)} sont des suites de réels non nuls telles que {a_n=o(b_n)} et que {\sum\limits_n|b_n|} diverge, alors {\sum_{k=1}^na_k=o\left(\sum_{k=1}^n|b_k|\right).}
17. Soient {(c_n)} et {(d_n)} strictement positives, avec {c_n\sim d_n} et {\sum\limits_nc_n} divergente. En utilisant le théorème admis, montrer que {\sum\limits_nd_n} diverge et que {\sum_{k=1}^nc_k\sim\sum_{k=1}^nd_k.}
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18. Montrer que {N_n} admet une espérance finie et que {\mathbb E(N_n)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{4^i}\dbinom{2i}{i}.}On pourra utiliser les indicatrices des événements {A_i}.
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19. En déduire {\mathbb E(N_n)\sim(2/\sqrt\pi)\sqrt n}.
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Une urne contient {n} boules blanches et {n} boules noires. On les tire sans remise jusqu’à vider l’urne, chaque boule restante étant équiprobable à chaque tirage.
Un entier {k\in\llbracket1,2n\rrbracket} est un indice d’égalité s’il reste autant de boules de chaque couleur après les {k} premiers tirages. L’entier {2n} est toujours un indice d’égalité. On note {M_n} le nombre d’indices d’égalité.
20. En utilisant par exemple les événements {B_i} : « {i} est un indice d’égalité », montrer que {M_n} admet une espérance finie égale à {\begin{array}{l}\displaystyle \mathbb E(M_n)\\[8pt]\displaystyle \quad=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\binom{2i}{i}\binom{2n-2i}{n-i}}{\binom{2n}{n}}.\end{array}}
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21. En déduire {\mathbb E(M_n)\sim\sqrt{\pi n}}.
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