2024-Inp-Psi-Corrigé

CCINP 2024 — PSI

Problème 1 — File d’attente

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. À l’instant {0}, la file contient un client. À chaque instant {k\in\mathbb N^*}, il arrive au plus un nouveau client. On note {X_k} l’indicatrice de cette arrivée.

Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}. Le client initial a l’indice {0} ; les autres sont numérotés suivant leur ordre d’arrivée.

Pour une variable {X} à valeurs dans {\mathbb N}, on rappelle la définition de sa fonction génératrice : {G_X(t)=\sum_{j=0}^{+\infty}\mathbb P(X=j)t^j.}

Partie I — Temps d’arrivée du n-ième client

Partie II — Étude du comportement de la file

II.1 — Une suite récurrente

Soient {a>0} et {f(x)=\exp(a(x-1))}. On considère {z_1\in]0,1[} et {z_{n+1}=f(z_n)} pour {n\geq1}.

II.2 — Groupes de clients

Un unique serveur traite les clients suivant leur ordre d’arrivée. La durée de service de chaque client suit une loi de Poisson de paramètre {\lambda>0}.

On note {S} la durée de service du client initial. Les variables {S} et {(X_n)_{n\geq1}} sont supposées indépendantes. Les clients du premier groupe sont ceux arrivés pendant ce service.

Pour {k\geq2}, les clients du {k}-ième groupe sont ceux arrivés pendant le service des clients du groupe précédent. On note {V_k} leur nombre. Si un groupe est vide, tous les groupes suivants sont vides.

Exercice — Équivalent de Stirling

Pour {x>0}, on pose {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt.}

Problème 2 — Blocs de Jordan

Soit {p\geq2}. Pour {\lambda\in\mathbb R}, on définit {J_\lambda\in\mathcal M_p(\mathbb R)} par {J_\lambda=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda&0&\cdots&\cdots&0\\[8pt]1&\lambda&\ddots&&\vdots\\[8pt]0&1&\ddots&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]0&\cdots&0&1&\lambda\end{array}\right).}Les matrices de Jordan interviennent dans la réduction des matrices dont le polynôme caractéristique est scindé : de telles matrices sont semblables à des matrices diagonales par blocs de Jordan.

On étudie une propriété d’irréductibilité, puis le caractère borné des solutions du système différentiel associé.

Une matrice {M} est nilpotente s’il existe {k\in\mathbb N} tel que {M^k=0}. Le plus petit tel entier est son indice de nilpotence. On note {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_p)} la base canonique de {\mathbb R^p}.

Un sous-espace {V} est stable par {f} lorsque {f(V)\subset V}. Sur {E=\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)} et sur {\mathcal M_p(\mathbb R)}, on utilise les normes admises suivantes : {\begin{array}{l}N(A)=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p|a_{ij}|^2\right)^{1/2},\\[8pt]\|X\|=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^p|x_i|^2\right)^{1/2}.\end{array}}

Partie I — Irréductibilité de Jλ

On note {u_\lambda} l’endomorphisme de {\mathbb R^p} canoniquement associé à {J_\lambda}.

Soit {V} stable par {u_\lambda}, de dimension {k\in\llbracket1,p\rrbracket}. On note {v} l’endomorphisme induit sur {V}. Une base {(\widetilde e_1,\ldots,\widetilde e_k)} de {V} est complétée en une base {\widetilde{\mathcal B}} de {\mathbb R^p}.

Partie II — Stabilité du système linéaire associé

On considère le système {(S)\;X'=J_\lambda X}, dont les solutions sont les fonctions {X:\mathbb R\to E} de classe {\mathcal C^1} vérifiant cette identité.

Pour {t\in\mathbb R}, on définit {\exp(tJ_\lambda)=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{p-1}\frac{t^k}{k!}J_0^k.}