2024-Centrale-Psi1-Corrigé

Centrale-Supélec — PSI — 2024 — Mathématiques 1

Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.

Notations

On note {\mathbb R[X]} l’ensemble des polynômes réels, identifiés à leurs fonctions polynomiales. Une fonction continue {f:\mathbb R\to\mathbb R} est intégrable sur {\mathbb R} lorsque {\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|\,dx} converge.

Pour une famille {(P_n)_{n\in\mathbb N}}, {\operatorname{Vect}(P_n,n\in\mathbb N)} désigne l’ensemble de ses combinaisons linéaires finies : les fonctions {\sum\limits_{k=0}^Na_kP_k}, avec {N\in\mathbb N} et {a_k\in\mathbb R}.

Le sujet illustre des applications de l’intégrale de Gauss. La partie I calcule cette intégrale ; la partie II étudie une équation différentielle à l’aide des séries entières.

La partie III construit des polynômes orthogonaux associés à un endomorphisme autoadjoint. La partie IV étudie le caractère total de cette famille. La partie II est indépendante des parties III et IV.

I — Intégrale de Wallis et intégrale de Gauss

I.A. Pour {n\in\mathbb N}, on pose

{W_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n t\,dt.}

I.B. On note

{\begin{array}{l}I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx,\\[8pt]J=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx.\end{array}}

II — Autour d’une équation différentielle

On considère l’équation

{xy''+y'+xy=0.\tag{II.1}}Le sujet indique « sur {\mathbb R[X]} ». Il faut lire « sur {\mathbb R} » pour les solutions développables en série entière demandées ; les seules solutions polynomiales seraient nulles.

II.A.

II.B. Pour {x\in\mathbb R}, on pose

{G(x)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(x\sin t)\,dt.}

III — Étude d’un endomorphisme sur un espace préhilbertien

III.A — Les polynômes d’Hermite

On pose {w(x)=e^{-x^2}}, fonction de classe {C^\infty}, et, pour {n\in\mathbb N},

{H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}w^{(n)}(x).}En particulier, {H_0=1}.

III.B — Un produit scalaire

On note {E} l’ensemble des fonctions continues {f:\mathbb R\to\mathbb R} telles que {\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)^2e^{-x^2}\,dx} converge.

On note {\|\cdot\|} la norme associée.

III.C — Produit scalaire et polynômes d’Hermite

III.D — Étude d’un endomorphisme autoadjoint

On définit sur {\mathbb R[X]} les applications

{\begin{array}{l}u(P)=-P''+2XP'+P,\\[8pt]v(P)=2XP-P',\quad w(P)=P'.\end{array}}La lettre {w} désigne ici un opérateur, et non la fonction gaussienne de III.A.

On note {u_n} l’endomorphisme induit sur {\mathbb R_n[X]}. On admet que {v,w} sont des endomorphismes de {\mathbb R[X]} et l’on note {\operatorname{Id}} l’identité.

IV — Une famille totale

On conserve l’espace préhilbertien {E} et les polynômes {H_n}. Le but est de montrer

{(\operatorname{Vect}(H_n,n\in\mathbb N))^\perp=\{0\},}c’est-à-dire que la famille est totale au sens indiqué dans l’énoncé. Sa normalisation fournit la famille orthonormale correspondante.

On définit ainsi, pour {f\in E} et {\xi\in\mathbb R},

{\mathcal F(f)(\xi)=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-it\xi}e^{-t^2}\,dt.}Cette application est linéaire. On admet son injectivité sur {E}.

On suppose désormais {f\in(\operatorname{Vect}(H_n,n\in\mathbb N))^\perp} et l’on veut montrer {f=0}.