Mines-Ponts — PSI — Mathématiques II — 2023
Distance entre deux distributions de probabilités sur {\mathbb N}
1. Nombre de points fixes d’une permutation
Soit {n\ge1}. On note {S_n} l’ensemble des permutations de {\{1,\ldots,n\}}, c’est-à-dire des bijections de cet ensemble sur lui-même. Un point fixe de {\sigma\in S_n} est un entier {i} tel que {\sigma(i)=i}.
Un dérangement est une permutation sans point fixe. On note {d_n} le nombre de dérangements de {\{1,\ldots,n\}} et l’on convient que {d_0=1}.
On munit {S_n} de la probabilité uniforme {P_n}. La variable {X_n(\sigma)} compte les points fixes de {\sigma}.
On introduit la série entière {\sum\limits_{n\ge0}(d_n/n!)x^n}, de rayon {R}, et sa somme
{s(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{d_n}{n!}x^n\quad(|x|\lt R).}
1. Rappeler le cardinal de {S_n}. En déduire que {R\ge1}.
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2. Pour {k\in\{0,\ldots,n\}}, montrer que le nombre de permutations ayant exactement {k} points fixes est {\binom nk d_{n-k}}. En déduire
{P_n(X_n=k)=\frac{d_{n-k}}{k!(n-k)!}.}
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3. Montrer que, pour {x\in]-1,1[}, {s(x)e^x=1/(1-x)}. En déduire que {R=1}.
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4. En partant de {(1-x)s(x)=e^{-x}} sur {]-1,1[}, exprimer {d_n/n!} sous forme d’une somme.
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5. Montrer que, pour {0\le k\le n},
{P_n(X_n=k)=\frac1{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}.}
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6. Pour {1\le i\le n}, on définit {U_i(\sigma)=1} si {\sigma(i)=i}, et {0} sinon. Montrer que {U_i} suit une loi de Bernoulli de paramètre {1/n}. Si {i\ne j}, montrer que {U_iU_j} suit une loi de Bernoulli et préciser son paramètre.
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7. Exprimer {X_n} à l’aide des {U_i}. En déduire {E(X_n)} et {V(X_n)}.
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8. Pour {k\in\mathbb N} fixé, déterminer {y_k=\lim\limits_{n\to+\infty}P_n(X_n=k)}. Reconnaître la loi d’une variable {Y} à valeurs dans {\mathbb N} telle que {P(Y=k)=y_k}.
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9. On note {G_{X_n}} et {G_Y} les fonctions génératrices. Exprimer {G_{X_n}(s)} sous forme de somme, pour {s\in\mathbb R}, et vérifier que {G_{X_n}(s)\to G_Y(s)} pour tout réel {s}.
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2. Convergence en variation totale
Une distribution de probabilités sur {\mathbb N} est une application {x:\mathbb N\to\mathbb R_+} telle que {\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x(k)=1}. On note {\mathcal D_{\mathbb N}} l’ensemble de ces distributions.
Pour {x,y\in\mathcal D_{\mathbb N}}, on définit
{d_{VT}(x,y)=\frac12\sum_{k=0}^{+\infty}|x(k)-y(k)|.}
10. Pour trois distributions {x,y,z}, prouver les propriétés
{\begin{array}{l}0\le d_{VT}(x,y)\le1,\\[8pt]d_{VT}(x,y)=0\iff x=y,\\[8pt]d_{VT}(y,x)=d_{VT}(x,y),\\[8pt]d_{VT}(x,z)\le d_{VT}(x,y)+d_{VT}(y,z).\end{array}}
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Pour une variable aléatoire {X} à valeurs dans {\mathbb N}, définie sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,P)}, on note {p_X(k)=P(X=k)} sa distribution.
Pour {\lambda\gt0}, la distribution de Poisson de paramètre {\lambda} est
{\pi_\lambda(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.}
11. Soient {X} et {Y} de lois de Bernoulli de paramètres respectifs {\lambda,\mu\in]0,1[}. Calculer {d_{VT}(p_X,p_Y)}.
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12. Soit {X} de loi de Bernoulli de paramètre {\lambda\in]0,1[}. Montrer que {d_{VT}(p_X,\pi_\lambda)=\lambda(1-e^{-\lambda})}, puis que cette distance est au plus {\lambda^2}.
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On reprend les variables {X_n} de la partie 1. On va préciser leur convergence vers la loi de Poisson de paramètre {1} en montrant que {d_{VT}(p_{X_n},\pi_1)\to0}, avec une estimation de sa rapidité.
13. Vérifier, pour {n\ge1},
{\begin{array}{rl}2d_{VT}(p_{X_n},\pi_1)&\displaystyle=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\left|\sum_{i=n-k+1}^{+\infty}\frac{(-1)^i}{i!}\right|\\[8pt]&\displaystyle\quad+e^{-1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k!}.\end{array}}
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14. Pour {n\in\mathbb N}, on pose {r_n=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}1/k!}. Prouver que
{r_n\le\frac1{(n+1)!}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{(n+2)^k}.}En déduire un équivalent simple de {r_n}.
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15. En majorant le second membre de Q13, établir
{d_{VT}(p_{X_n},\pi_1)=O\left(\frac{2^n}{(n+1)!}\right).}On pourra faire intervenir des coefficients binomiaux.
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3. Autres estimations de distances en variation totale
Pour deux distributions {x,y}, on définit leur convolution par
{(x*y)(k)=\sum_{i=0}^kx(i)y(k-i)=\sum_{i+j=k}x(i)y(j).}
16. Montrer que {x*y} est une distribution sur {\mathbb N}.
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17. Soient {X,Y} indépendantes, à valeurs dans {\mathbb N}, sur un même espace probabilisé. Prouver {p_{X+Y}=p_X*p_Y}.
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18. Pour {x,y,u,v\in\mathcal D_{\mathbb N}} et {k\in\mathbb N}, montrer que
{\begin{array}{l}|(x*y)(k)-(u*v)(k)|\\[8pt]\displaystyle\quad\le\sum_{i+j=k}y(j)|x(i)-u(i)|\\[8pt]\displaystyle\quad+\sum_{i+j=k}u(i)|y(j)-v(j)|.\end{array}}
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19. Avec les notations précédentes, établir
{d_{VT}(x*y,u*v)\le d_{VT}(x,u)+d_{VT}(y,v).}
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20. Soit {U\sim\mathcal B(n,\lambda)}, avec {n\ge1} et {\lambda\in]0,1[}. Prouver {d_{VT}(p_U,\pi_{n\lambda})\le n\lambda^2}.
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21. Soit {\alpha\gt0}. Pour {n\gt\lfloor\alpha\rfloor}, soit {B_n\sim\mathcal B(n,\alpha/n)}. Déterminer {\lim\limits_{n\to+\infty}P(B_n=k)} pour tout {k\in\mathbb N}. On pourra utiliser Q20.
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22. Pour {\alpha,\beta\gt0}, montrer, à l’aide des résultats et méthodes précédents, que
{d_{VT}(\pi_\alpha,\pi_\beta)\le|\beta-\alpha|.}
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