2023-E3a-Psi-Corrigé

E3A — PSI — 2023

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Soit {n} un entier naturel non nul. Dans un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,P)}, les variables aléatoires {X} et {Y} prennent leurs valeurs dans {\{1,\ldots,n+1\}}.
On suppose qu’il existe {\alpha\in\mathbb R} tel que, pour tous {i,j} de cet ensemble,
{p_{ij}=P([X=i]\cap[Y=j])=\alpha\binom n{i-1}\binom n{j-1}.}

Exercice 2

Questions de cours

3. Étude d’une suite

4. Étude de la série de terme général {u_n-\ell}

Exercice 3

Soit {p\ge3}. Pour {M\in\mathcal M_p(\mathbb R)}, on note {M^\top} sa transposée. On rappelle {(MN)^\top=N^\top M^\top}.
L’espace {E=\mathbb R^p} est muni du produit scalaire canonique {(X\mid Y)=X^\top Y} et de la norme {\|X\|=\sqrt{X^\top X}}.
Pour un entier {n\ge-1}, une matrice {A} est dite de type {n} lorsque {A^\top=A^n}.

1. Quelques exemples

On suppose désormais {n\ge2}.
2. Dans cette question seulement, {p=3} et, pour {\theta\in\mathbb R},
{A(\theta)=\begin{pmatrix}1&0&0\\[8pt]0&\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.}

On revient au cas général {p\ge3}.
3. Soit {A\in\mathcal M_p(\mathbb R)} de type {n}.

3.2. On note {B=A^{n+1}}.

Exercice 4

Dans tout l’exercice, {i} désigne le nombre complexe usuel vérifiant {i^2=-1}.
Questions de cours

3. Soit {(a_n)_{n\in\mathbb N}} une suite réelle décroissante de limite nulle.

5. On définit sur {\mathbb R} la fonction à valeurs complexes
{F(x)=\int_0^1\frac{e^{ix(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt.}On rappelle que, pour une fonction réelle dérivable {\varphi}, la dérivée de {e^{i\varphi(x)}} est {i\varphi'(x)e^{i\varphi(x)}}.

6. Convergence d’intégrales

7. Pour {n\in\mathbb N}, on pose
{w_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin u}{\sqrt u}\,du.}