2024-Centrale-Pc2-corrigé

Centrale-Supélec 2024 — PC — Mathématiques 2

Produits infinis

Le problème étudie des produits infinis : résultats préliminaires, exemples et probabilités, régularité de produits de fonctions, produit infini du sinus, puis fonction {\Gamma}.

On note {\lfloor t\rfloor} la partie entière de {t}. Pour une suite réelle {(u_n)_{n\geq p}}, on appelle produits partiels les nombres {P_n=\prod\limits_{k=p}^nu_k}. Si cette suite converge, on définit {\prod_{k=p}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}P_n.}Dans cette convention, la valeur d’un produit infini peut être nulle.

I — Résultats préliminaires

I.A

Soit {n\geq1}.

I.B

On fixe {z\in\mathbb C} et l’on pose {u_n=(1+z/n)^n} pour {n\geq1}.

II — Exemples de calcul de produit infini

II.A

II.B — Produit de Wallis

Pour {n\geq0}, on pose {W_n=\int_0^{\pi/2}(\cos u)^n\,du}.

II.C — Une application probabiliste

Sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, les événements {(A_n)_{n\geq0}} sont indépendants et {\sum\limits_{n\geq0}\mathbb P(A_n)} diverge.

III — Fonction définie par un produit infini

On fixe {a\lt b}, {\mathcal S=[a,b]}, et des fonctions {f_n:\mathcal S\to]-1,+\infty[}. On pose {P_n(x)=\prod_{k=1}^n(1+f_k(x)),\quad Q_n(x)=\prod_{k=1}^n(1+|f_k(x)|),}{R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}|f_k(x)|}lorsque cette dernière somme existe.

III.A — Continuité

On suppose que les {f_n} sont continues et que {\sum\limits_{n\geq1}|f_n|} converge uniformément sur {\mathcal S} vers {R_0}.

III.B — Un exemple

Pour {x>0}, on pose {f(x)=\prod\limits_{n=1}^{+\infty}(1-e^{-nx^2})}.

III.C — Dérivabilité

On suppose maintenant les {f_n} de classe {\mathcal C^1} sur {\mathcal S}, avec convergence uniforme sur {\mathcal S} des séries {\sum\limits_{n\geq1}|f_n|} et {\sum\limits_{n\geq1}f'_n/(1+f_n)}.

IV — Expression du sinus comme produit infini

IV.A

Pour {n\geq0}, on définit {\begin{array}{rcl}P_n(X)&=&\displaystyle\frac1{2i}\left(1+\frac{iX}{2n+1}\right)^{2n+1}\\[8pt]&&\displaystyle-\frac1{2i}\left(1-\frac{iX}{2n+1}\right)^{2n+1}.\end{array}}Dans les questions Q20 à Q23, {n} est fixé. Ces polynômes ne doivent pas être confondus avec les produits partiels de la partie III.

IV.B

On fixe {x\in\mathbb R}. Pour alléger l’écriture, posons {a_{m,j}=(2m+1)\tan\left(\frac{j\pi}{2m+1}\right)\quad(1\leq j\leq m).}Pour {k\geq1} et {t\geq0}, l’énoncé définit {v_k(t)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle x\prod_{j=1}^k\left(1-\frac{x^2}{a_{\lfloor t\rfloor,j}^2}\right)&\text{si }t\geq k,\\[8pt]P_{\lfloor t\rfloor}(x)&\text{si }t\lt k.\end{array}\right.}

IV.C — Une conséquence

V — Autour de la fonction {\Gamma}

V.A

Pour {x>0}, on pose {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}.

Pour {n\geq1} et {x>0}, on pose {g_n(x)=\int_0^1u^{x-1}(1-u)^n\,du}.

V.B — Formule de réflexion

V.C — Un produit infini pour {\Gamma}