2024-Centrale-Pc1-corrigé

Centrale-Supélec 2024 — PC — Mathématiques 1

Les quatre parties étudient successivement deux approximations de {\sqrt2}, la méthode de Héron pour les matrices symétriques positives, la méthode de Newton réelle, puis une méthode de Newton matricielle conduisant à la décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et au calcul de racines carrées.

Notations

On fixe {q\geq1} et {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}. On note {\mathcal M_q(\mathbb K)} les matrices carrées d’ordre {q}, {I_q} l’identité, {P^T} la transposée de {P}, et {[M]_{i,j}} les coefficients de {M}.

Les ensembles {\mathcal S_q(\mathbb R)} et {O(q)} désignent les matrices symétriques et les matrices orthogonales, ces dernières vérifiant {P^TP=I_q}. La matrice {\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_q)} a pour coefficients diagonaux les {a_i} et tous ses autres coefficients sont nuls.

En dimension finie, les normes sont équivalentes. On admet que la convergence matricielle équivaut à celle de chaque coefficient et que, si {M_n\to M}, alors {AM_n\to AM} et {M_nA\to MA} pour toute matrice fixe {A}.

I — Quelques approximations de {\sqrt2}

I.A — Via un développement en série entière

Pour {\alpha\in\mathbb R}, on pose {a_0=1} et {a_n=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\quad(n\geq1).}

I.B — Via la méthode de Héron d’Alexandrie

Pour {a\geq0}, on définit {c_0(a)=1,\quad c_{n+1}(a)=\frac12\left(c_n(a)+\frac{a}{c_n(a)}\right).}

I.C — Comparaison des vitesses de convergence

Pour la question suivante, on s’interdit toute valeur approchée de {\sqrt2} stockée dans Python, notamment 2 ** (1/2), math.sqrt(2) et numpy.sqrt(2).

II — Racine carrée d’une matrice symétrique positive

On note {\mathcal S_q^+(\mathbb R)} les matrices symétriques {M} telles que {X^TMX\geq0} pour tout vecteur colonne {X}. Une racine carrée de {M} est une matrice {B} telle que {B^2=M}.

II.A — Racines carrées de {I_2}

II.B — Existence et unicité d’une racine carrée symétrique positive

On note {\sqrt M} cette unique racine carrée symétrique positive.

II.C — Une méthode de Héron matricielle

On écrit {M=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_q)P^T} avec {P\in O(q)} et {\lambda_i\geq0}. On pose {M_0=I_q,\quad M_{n+1}=\frac12(M_n+MM_n^{-1}).}

III — Méthode de Newton numérique

Soit {I} un intervalle ouvert non vide et {f\in\mathcal C^2(I,\mathbb R)} telle que {f'} ne s’annule pas sur {I}.

III.A — Convergence de la méthode

On suppose qu’il existe {c\in I} tel que {f(c)=0}. Pour {r>0}, on pose {J_r=[c-r,c+r]}. On considère les itérations {c_{n+1}=c_n-\frac{f(c_n)}{f'(c_n)}.}On cherche un intervalle {J_r\subset I} dans lequel toute valeur initiale donne une suite bien définie convergeant vers {c}.

On pose {K_r=s_r/(2i_r)}.

On fixe désormais un tel {r}, avec {rK_r\lt 1}.

III.B — Une implémentation en Python

IV — Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et racine carrée

Une matrice {N} est nilpotente s’il existe {k\geq1} tel que {N^k=0}. On fixe {M\in\mathcal M_q(\mathbb C)}, de valeurs propres distinctes {\lambda_1,\ldots,\lambda_s}, et l’on pose {P(X)=\prod_{i=1}^s(X-\lambda_i).}Pour {Q(X)=\sum\limits_k\gamma_kX^k}, on définit {Q(M)=\sum\limits_k\gamma_kM^k} et {\mathbb C[M]=\{Q(M):Q\in\mathbb C[X]\}}.

On admet que deux éléments de {\mathbb C[M]} commutent, que leur somme et leur produit appartiennent à cet ensemble et que, si {A\in\mathbb C[M]}, alors {Q(A)\in\mathbb C[M]} pour tout polynôme {Q}.

IV.A — Une méthode de Newton matricielle

On définit {M_0=M,\quad M_{n+1}=M_n-P(M_n)P'(M_n)^{-1}.}On admet que chaque {M_n} est bien définie, que {P'(M_n)} est inversible et qu’il existe {B_n\in\mathbb C[M]} tel que {P(M_n)=P(M)^{2^n}B_n.}

IV.B — Racines carrées de certaines matrices réelles trigonalisables

Pour les dernières questions, {M} est réelle, trigonalisable sur {\mathbb R}, et son spectre est inclus dans {\mathbb R_+^*}. On reprend {A} et {N} construits en IV.A.