2024-Mines-Pc2-corrigé

Mines-Ponts — PC — 2024 — Mathématiques II

Problème inverse pour les matrices de distance euclidienne

Notations et rappels

Soit {n\geq1}. On utilise le produit scalaire euclidien usuel {(x,y)=x^Ty} et la norme associée. La distance entre deux points de vecteurs coordonnées {x,y} est {\|x-y\|}.

Un endomorphisme symétrique {f} est positif lorsque {(x,f(x))\geq0} pour tout {x} ; une matrice symétrique {A} est positive lorsque {x^TAx\geq0} pour tout {x}. Ces propriétés correspondent dans une base orthonormée.

Une matrice de distance euclidienne, abrégée MDE, est une matrice {D=(d_{ij})} d’ordre {n} pour laquelle il existe {m\geq1} et des points {A_1,\ldots,A_n\in\mathbb R^m} tels que {d_{ij}=d(A_i,A_j)^2}.

On cherche à construire une MDE de spectre prescrit. On admet qu’un endomorphisme symétrique est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.

1 — Matrices de Hadamard

Une matrice de Hadamard d’ordre {n} a tous ses coefficients dans {\{-1,1\}} et {H/\sqrt n} est orthogonale.

2 — Quelques résultats sur les endomorphismes symétriques

Soit {f} symétrique sur {\mathbb R^n}, de valeurs propres ordonnées {\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n}. Pour {1\leq k\leq n}, on note {\pi_k} l’ensemble des sous-espaces de dimension {k}. L’existence des extrema considérés est admise.

3 — Caractérisation des MDE

On note {e=(1,\ldots,1)^T}, {\Delta_n} l’ensemble des MDE d’ordre {n}, et {\Omega_n} l’ensemble des matrices symétriques positives {A} telles que {Ae=0}.
On pose {P=I_n-\frac1n ee^T,\quad T(D)=-\frac12PDP.}Pour {A\in\Omega_n}, si {a=(A_{11},\ldots,A_{nn})^T}, on définit {K(A)=ea^T+ae^T-2A.}

L’énoncé indique également, sans en demander la preuve, que {K\circ T=\operatorname{Id}_{\Delta_n}} et que {T} et {K} sont des bijections réciproques.

4 — Spectre des MDE

On conserve les notations précédentes.

5 — Problème inverse pour les MDE

Soit {H} une matrice de Hadamard d’ordre {n}, dont la première ligne est constante égale à {1}. On se donne {\lambda_1>0\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n,\quad\sum_{i=1}^n\lambda_i=0.}On pose {U=H/\sqrt n}, {\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)} et {D=U^T\Lambda U}.

L’énoncé conclut en soulignant les limites de cette construction : elle suppose l’existence d’une matrice de Hadamard de l’ordre considéré. Il rappelle qu’à la date du sujet, leur existence pour tout ordre multiple de {4} n’est pas établie, tandis qu’il existe aussi des MDE d’ordre impair.