2023-X-Ens-Pc-corrigé

Polytechnique–ESPCI–ENS 2023 — PC — Mathématiques

Modèles matriciels de dynamique des populations

Pour {d\geq1} et {x,y\in\mathbb R^d}, éventuellement écrits en ligne ou en colonne, on note {\|x\|_1=\sum_{i=1}^d|x_i|,\qquad\|x\|_2=\left(\sum_{i=1}^dx_i^2\right)^{1/2},}{\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^dx_i y_i.}Les ensembles {\mathbb R_+} et {\mathbb R_+^*} désignent respectivement les réels positifs ou nuls et les réels strictement positifs. On note {\mathcal M_{m,n}(A)} les matrices à {m} lignes et {n} colonnes dont les coefficients appartiennent à {A}, et {\mathcal M_m(A)=\mathcal M_{m,m}(A)}.

Les quatre parties sont dépendantes ; les résultats des questions précédentes peuvent être admis pour traiter les suivantes.

Première partie

On note {\mathcal P} l’ensemble des vecteurs lignes à coordonnées positives ou nulles et de somme {1} : {\mathcal P=\left\{u\in\mathcal M_{1,d}(\mathbb R_+):\sum_{j=1}^du_j=1\right\}.}La matrice {P\in\mathcal M_d(\mathbb R_+)} vérifie {\sum\limits_{j=1}^dP_{i,j}=1} pour chaque {i}. On suppose qu’il existe {\nu\in\mathcal P} et {c>0} tels que {P_{i,j}\geq c\nu_j} pour tous {i,j}.

Deuxième partie

Soit {M\in\mathcal M_d(\mathbb R_+)}. On suppose qu’il existe {\lambda>0} et un vecteur colonne {h} à coordonnées strictement positives tels que {Mh=\lambda h}.

On suppose aussi qu’il existe {\nu\in\mathcal P} et {c>0} tels que {M_{i,j}\geq c\nu_j}. On définit {P_{i,j}=\frac{M_{i,j}h_j}{\lambda h_i}.}

On fixe {a_1,\ldots,a_d>0} et {b_1,\ldots,b_{d-1}>0}. On considère la matrice {M} dont la première colonne est {(a_1,\ldots,a_d)^T}, dont la surdiagonale est {(b_1,\ldots,b_{d-1})}, et dont les autres coefficients sont nuls : {M=\begin{pmatrix}a_1&b_1&0&\cdots&0\\[8pt]a_2&0&b_2&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]a_{d-1}&0&\cdots&0&b_{d-1}\\[8pt]a_d&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}.}Pour {d=1}, cette définition se réduit à {M=(a_1)}. Les produits vides valent {1}.

Troisième partie

Toutes les variables sont définies sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. On note {\mathbb E}, {\operatorname{Var}} et {\mathbf1_A} l’espérance, la variance et l’indicatrice d’un événement {A}.

Pour {1\leq i,j\leq d}, la variable {N_{i,j}} est à valeurs dans {\mathbb N} et possède un moment d’ordre deux fini. On pose {L_i=(N_{i,1},\ldots,N_{i,d})}.

On considère des copies indépendantes {L_i^{n,k}=(L_{i,1}^{n,k},\ldots,L_{i,d}^{n,k})} de {L_i}, pour les générations {n} et les individus {k\geq1}. Les coordonnées d’un même vecteur {L_i} ne sont pas supposées indépendantes.

La population initiale {X_0} est un vecteur ligne à coordonnées entières positives ou nulles, chacune de carré intégrable. On définit {X_{n+1}=\sum_{i=1}^d\sum_{k=1}^{X_{n,i}}L_i^{n,k}.}La coordonnée {X_{n,i}} compte les individus de type {i} à la génération {n} ; {L_{i,j}^{n,k}} compte les enfants de type {j} du {k}-ième individu de type {i}.

Précision: L’énoncé indexe d’abord les copies par {n\geq1}, mais utilise {L_i^{0,k}} dans la récurrence. On inclut donc aussi les copies de rang {n=0}. On adopte le modèle usuel où toute la famille de reproduction est indépendante de {X_0} ; à chaque génération, la famille utilisée est ainsi indépendante du passé. C’est l’indépendance sous-jacente aux calculs demandés.

On pose {M_{i,j}=\mathbb E(N_{i,j}),\qquad x_{n,j}=\mathbb E(X_{n,j}).}

Pour un vecteur colonne {u\in\mathbb R^d}, on définit {T(u)=(T_i(u))_{1\leq i\leq d}} par {T_i(u)=\operatorname{Var}(\langle L_i,u\rangle)}.

Quatrième partie

On reprend les notations de la partie précédente. On suppose que la matrice moyenne {M} admet {\lambda>0} et un vecteur propre colonne {h} strictement positif, avec {Mh=\lambda h}.

On suppose également qu’il existe {\nu\in\mathcal P} et {c>0} tels que {M_{i,j}\geq c\nu_j}.

Dans toute la suite, on suppose {\lambda>1} et l’on définit le vecteur ligne aléatoire {W_n=\lambda^{-n}\bigl(X_n-\|X_n\|_1\pi\bigr).}