2023-Mines-Pc2-corrigé

Mines-Ponts 2023 — PC — Mathématiques II

Chaîne de Markov en temps continu

On fixe {N\geq2}. Pour une matrice {A}, {A[i,j]} désigne son coefficient de ligne {i} et de colonne {j}. Pour un vecteur ligne ou colonne, on écrit simplement {A[i]}.

On identifie {\mathbb R^N} aux vecteurs colonnes. On note {(E_1,\ldots,E_N)} sa base canonique et {U} le vecteur colonne dont toutes les coordonnées valent {1}. La matrice identité est {I_N}.

Un noyau de Markov est une matrice {K\in\mathcal M_N(\mathbb R)} vérifiant {\begin{array}{ll}\text{(M1)}&K[i,j]\geq0\quad\text{pour tous }i,j,\\[8pt]\text{(M2)}&\displaystyle\sum_{j=1}^NK[i,j]=1\quad\text{pour tout }i.\end{array}}Une probabilité est un vecteur ligne {\mu} dont les coordonnées sont positives ou nulles et de somme {1}.

Préliminaires

On fixe désormais un noyau de Markov {K}.

Pour {t\in\mathbb R}, on définit {H_t} par {H_t[i,j]=e^{-t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^nK^n[i,j]}{n!}.}

Partie 1 — Modélisation probabiliste

Un système possède {N} états numérotés de {1} à {N} et se trouve initialement dans l’état {1}. À chaque impulsion, s’il est dans l’état {i}, il passe dans l’état {j} avec la probabilité {p_{ij}}, qui ne dépend que de l’état avant l’impulsion.

Sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, {Z_k} désigne l’état après {k} impulsions. Ainsi {Z_0=1} et, lorsque {\mathbb P(Z_k=i)\ne0}, {\mathbb P(Z_{k+1}=j\mid Z_k=i)=p_{ij}.}On définit {K[i,j]=p_{ij}}.

Partie 2 — Étude d’un endomorphisme autoadjoint

Soit {E} un espace euclidien de dimension {N}, muni d’un produit scalaire {(\cdot\mid\cdot)} et de sa norme. On considère un endomorphisme autoadjoint {u} tel que {q_u(x)=(u(x)\mid x)\geq0} pour tout {x\in E}.

On suppose que {0} est valeur propre simple de {u}. On note {\lambda_2} sa plus petite valeur propre non nulle et {p} la projection orthogonale sur la droite {\ker u}.

Partie 3 — Convergence de {H_t[i,j]}

On considère un noyau de Markov {K} dont {1} est une valeur propre simple. On suppose qu’il existe une probabilité ligne {\pi} dont toutes les coordonnées sont non nulles et telle que {\pi[i]K[i,j]=K[j,i]\pi[j].}On dit que {K} est {\pi}-réversible. On admet que {H_t} est également {\pi}-réversible pour {t\geq0}.

Pour les vecteurs colonnes {X,Y}, on pose {\langle X,Y\rangle=\sum_{i=1}^NX[i]Y[i]\pi[i].}L’objectif est de déterminer la limite de {H_t[i,j]} et de majorer la vitesse de convergence.

On note désormais {E} l’espace euclidien des vecteurs colonnes muni de ce produit scalaire et {\|\cdot\|} sa norme.

On admet que {X\mapsto H_tX} est également autoadjoint pour {t\geq0}.

Pour {X\in E}, on définit sur {\mathbb R} les fonctions {\psi_X(t)=H_tX} et {\varphi_X(t)=\|H_tX\|^2}.

On note {p} la projection orthogonale sur {\ker u}.