2023-Inp-Pc-corrigé

CCINP 2023 — PC — Mathématiques

Les trois exercices sont indépendants.

Exercice 1 — Endomorphisme cyclique

Soit {f} un endomorphisme d’un espace vectoriel {E} de dimension {n\geq1}. On note {f^0=\operatorname{id}_E} et {f^p} la composée de {p} copies de {f} pour {p\geq1}.

On dit que {f} est cyclique s’il existe {v\in E} tel que {(v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v))} soit une base de {E}. Les trois premières parties étudient des exemples ; la dernière traite le cas diagonalisable.

I — Étude d’un premier exemple

On considère {f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2} défini par {f(x,y)=(4x-2y,x+y)}.

II — Étude d’un deuxième exemple

La matrice de {g:\mathbb R^3\to\mathbb R^3} dans la base canonique est {M=\begin{pmatrix}0&-1&1\\[8pt]-1&0&-1\\[8pt]1&-1&0\end{pmatrix}.}

III — Étude d’un troisième exemple

On fixe {n\geq2} et on définit, sur {\mathbb R_n[X]}, {\Delta(P)=P(X+1)-P(X).}Par exemple, {\Delta(X^2)=2X+1}.

IV — Cas d’un endomorphisme diagonalisable

Soit {h} un endomorphisme diagonalisable d’un espace complexe {E} de dimension {n\geq1}. On choisit une base propre {\mathcal B=(v_1,\ldots,v_n)}, avec {h(v_k)=\lambda_kv_k}.

Pour {v\in E}, on écrit {v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n}.

Exercice 2 — La fonction dilogarithme

On admet {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2=\pi^2/6}.

I — Existence et premières propriétés

On considère {f(t,x)=\frac{t}{e^t-x},\ t>0,\quad x\leq1.}

On définit donc la fonction dilogarithme {L:]-\infty,1]\to\mathbb R} par {L(x)=x\int_0^{+\infty}f(t,x)\,dt.}

II — Développement en série entière

On fixe {x\in[-1,1]} et, pour {n\in\mathbb N}, on pose {s_n(t)=te^{-(n+1)t}x^n} pour {t>0}.

III — Une autre propriété

Pour {x\in]0,1[}, on pose {h(x)=L(x)+L(1-x)+\ln x\ln(1-x).}

Exercice 3 — Un jeu de société

On fixe des entiers {M\geq2} et {A\geq1}. Un pion part de la case {0} d’un parcours infini dont les cases sont numérotées par {\mathbb N}. À chaque tour, il avance d’un nombre de cases tiré uniformément dans {\llbracket0,M-1\rrbracket}. Le jeu se termine dès qu’il atteint ou dépasse la case {A}.

Sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes et uniformes sur {\llbracket0,M-1\rrbracket}. On pose {S_0=0} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Si {S_n\lt A} pour tout {n\geq1}, on pose {T=0}. Sinon, {T=\min\{n\geq1:S_n\geq A\}}. L’objectif est de déterminer l’espérance de {T} dans deux cas particuliers.

I — Préliminaires

I.1 — Modélisation

I.2 — Calcul de la somme d’une série entière
On considère {f(x)=1/(1-x)} sur {]-1,1[}.

II — Étude d’un premier cas

Dans cette partie uniquement, {M=2}.
II.1 — Loi de {S_n} et de {T}

II.2 — Espérance de {T}
La fonction génératrice {G_T} est donnée par la série {\sum\limits_{k\geq A}\mathbb P(T=k)x^k} sur son intervalle de convergence.

III — Étude d’un second cas

On suppose désormais {A\leq M}.
III.1 — Calcul de {\mathbb P(S_n\leq k)}
On admet la formule {\sum_{\ell=0}^k\binom{n+k-\ell}{n}=\binom{n+1+k}{n+1}\ (k,n\in\mathbb N).}

III.2 — Espérance de {T}
On rappelle que, pour une variable {Z} à valeurs dans {\mathbb N}, la convergence de {\sum\limits_{n\geq0}\mathbb P(Z>n)} entraîne l’existence de son espérance et l’égalité {\mathbb E(Z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb P(Z>n)}.