2023-Centrale-Pc2-corrigé

Centrale-Supélec 2023 — PC — Mathématiques 2

Notations

{\mathbb R_n[X]} désigne les polynômes réels de degré inférieur ou égal à {n}. On pose {H_0=1} et, pour {j\geq1}, {H_j=\frac1{j!}\prod_{i=0}^{j-1}(X-i).}Les coefficients binomiaux vérifient {\binom00=1} et {\binom nk=0} si {k>n}. Enfin, {\llbracket a,b\rrbracket} désigne l’ensemble des entiers compris entre {a} et {b}.

I — Utilisation de séries entières

I.A — Une première formule

I.B — Utilisation d’une famille de polynômes

Pour {k\in\mathbb N}, on note {f_k(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}n^kx^n}. Pour {k=0}, on adopte ici {0^0=1}, conformément à l’évaluation du polynôme constant {X^0}.

I.C — Une dernière formule

On note {R} le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\geq0}\binom{2n}n x^n}.

II — Étude de sommes doubles

On considère des familles {(a_{i,j})_{(i,j)\in\mathbb N^2}} et leurs deux sommes itérées. On admet les résultats suivants.

Si tous les termes sont positifs ou nuls, les deux sommes itérées existent dans {[0,+\infty]} et sont égales. Si l’une est finie, l’autre l’est aussi.

Si {\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{j=0}^{+\infty}|a_{i,j}|} est finie, les deux sommes itérées des {a_{i,j}} existent et sont égales.

II.A — Applications

II.A.1 — Une première application
Soit {x\in]-1,1[}.

II.A.2 — Une seconde application
On admet {\sum\limits_{k=1}^{+\infty}1/k^2=\pi^2/6}.

II.B — Contre-exemples

II.B.1 — Un premier contre-exemple
Pour {(i,j)\in\mathbb N^2}, on définit {b_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }i>j,\\[8pt]-1&\text{si }i=j,\\[8pt]2^{-(j-i)}&\text{si }i\lt j.\end{array}\right.}

II.B.2 — Un second contre-exemple
Pour {(i,j)\in\mathbb N^2}, on définit {c_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }i>j,\\[8pt]j&\text{si }i=j,\\[8pt]-2i3^{i-j}&\text{si }i\lt j.\end{array}\right.}

III — Probabilités

Toutes les variables aléatoires sont discrètes, définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. On fixe {p\in]0,1[}.

III.A — Un conditionnement

{X} suit la loi géométrique de paramètre {p} sur {\mathbb N^*} : {\mathbb P(X=n)=p(1-p)^{n-1}}. La variable {Y} est à valeurs dans {\mathbb N} et, sachant {X=n}, suit la loi de Poisson de paramètre {n} : {\mathbb P(Y=k\mid X=n)=e^{-n}\frac{n^k}{k!}.}

III.B — Pile ou face infini

On considère une suite {(X_n)_{n\geq1}} de variables de Bernoulli de paramètre {p}, indépendantes. L’événement {[X_n=1]} signifie que le {n}-ième lancer donne pile, et {[X_n=0]} qu’il donne face.

Pour {n\geq1}, {A_n} signifie qu’après les {2n} premiers lancers il y a autant de piles que de faces. L’événement {B_n} signifie que cette égalité a lieu pour la première fois après ces {2n} lancers.

Par exemple, pour la suite (face, face, pile, pile, face, pile), {A_1} n’est pas réalisé, {A_2} et {A_3} le sont ; {B_2} est réalisé, mais ni {B_1} ni {B_3}.

Enfin, {C} signifie qu’il y a autant de piles que de faces au bout d’un certain nombre non nul de lancers. On admet que les {A_n}, les {B_n} et {C} sont des événements.