2023-Centrale-Pc1-corrigé

Centrale-Supélec 2023 — Mathématiques 1 — PC

Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
L’objectif est d’établir le théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques. Ce théorème étudie les espaces propres associés aux valeurs propres de module maximal. Une application finale ouvre sur l’analyse spectrale des matrices à coefficients positifs.

La partie I établit des résultats préliminaires. La partie II traite le cas des matrices strictement positives de taille deux. La partie III relie rayon spectral et comportement des puissances, indépendamment de la partie II. La partie IV démontre le théorème annoncé, indépendamment des parties II et III.

Notations et définitions
{\mathbb K} désigne {\mathbb R} ou {\mathbb C}. Pour {n,p\geq1}, {\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)} est l’espace des matrices à {n} lignes et {p} colonnes, et {\mathcal M_n(\mathbb K)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb K)}.
La matrice {|A|} a pour coefficients {|A_{ij}|}. Les inégalités entre matrices réelles sont comprises coefficient par coefficient : {A\geq0} signifie que tous ses coefficients sont positifs ou nuls, et {A>0} qu’ils sont tous strictement positifs. Les notations {A\geq B}, {A>B}, {A\leq B} et {A\lt B} se déduisent de cette convention.
On peut utiliser les propriétés suivantes, dès que les opérations sont définies :
{\begin{array}{l}|A+B|\leq|A|+|B|,\\[8pt]|A^{\mathsf T}|=|A|^{\mathsf T},\ \gamma A|=|\gamma||A|,\\[8pt]A\geq0,\ B\geq0\ \Longrightarrow\ AB\geq0.\end{array}}Pour deux vecteurs colonnes réels, le produit scalaire et sa norme associés sont
{(X\!\mid\! Y)\!=\!X^{\mathsf T}Y\!=\!\sum_{k=1}^nX_kY_k,\ \|X\|\!=\!\left(\sum_{k=1}^nX_k^2\right)^{1/2}}On note {\operatorname{sp}(A)} le spectre de {A}. Lorsque ce spectre est non vide, son rayon spectral est
{\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{sp}(A)\}.}Une norme {N} sur {\mathcal M_n(\mathbb K)} est dite sous-multiplicative si {N(AB)\leq N(A)N(B)} pour toutes matrices {A,B}.

I — Résultats préliminaires

II — Matrices strictement positives de {\mathcal M_2(\mathbb R)}

Soient {a,b,c,d>0} et
{A=\begin{pmatrix}a&b\\[8pt]c&d\end{pmatrix}.}

III — Normes sous-multiplicatives et rayon spectral

III.A — Exemples de normes sous-multiplicatives

Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, on pose
{\|A\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^n|A_{ij}|,}{\|A\|_2=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|A_{ij}|^2\right)^{1/2}.}

III.B — Rayon spectral

Soient {n\geq2} et {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}.
III.B.1)

III.B.2)
On veut montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, il existe une norme sous-multiplicative {N}, dépendant de {A} et de {\varepsilon}, telle que {N(A)\leq\rho(A)+\varepsilon}.
Pour {\tau>0}, on introduit
{D_\tau=\operatorname{diag}(1,\tau,\ldots,\tau^{n-1}),}et on considère une matrice triangulaire supérieure {T}.

III.B.3)

IV — Théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques positives

Soient {n\geq2} et {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} non nulle, symétrique et à coefficients positifs ou nuls. On pose {r=\rho(A)}.

IV.A

On note {\mu} la plus grande valeur propre de {A}.

IV.B

Dans cette sous-partie seulement, on suppose de plus que {A>0}.

IV.C

On suppose maintenant qu’il existe {p\geq2} tel que {A^p>0}. Par Q26, {r} est une valeur propre de {A}.

IV.D — Une application : un théorème de Ky Fan

On admet l’extension des résultats de Perron-Frobenius à toute matrice réelle strictement positive, même non symétrique : son rayon spectral est une valeur propre simple, seule de module maximal, et l’espace propre correspondant est une droite possédant un vecteur strictement positif.
Soient désormais {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)} quelconque et {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} strictement positive.

On suppose désormais que {|A_{ij}|\leq B_{ij}} pour tous les couples d’indices distincts {i,j}.