2024-Cnm-Mp2-corrigé

Concours national commun 2024 — Mathématiques 2 — MP

L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.
Le sujet est composé d’un exercice et d’un problème indépendants.

Exercice — Un problème d’extremum

Noté sur 4 points sur 20.
On désigne par {\mathcal M_3(\mathbb R)} l’espace des matrices carrées réelles d’ordre {3}, par {\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)} la base canonique de {\mathbb R^3}, et par {I_3} la matrice unité.
On considère les matrices
{A=\frac12\begin{pmatrix}3&-1&1\\[8pt]-2&2&2\\[8pt]-1&-1&5\end{pmatrix},}{P=\begin{pmatrix}1&0&2\\[8pt]2&1&-1\\[8pt]1&1&1\end{pmatrix},}{Q=\begin{pmatrix}2&2&-2\\[8pt]-3&-1&5\\[8pt]1&-1&1\end{pmatrix}.}

2. On considère les vecteurs
{u=\begin{pmatrix}1\\[8pt]2\\[8pt]1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}0\\[8pt]1\\[8pt]1\end{pmatrix},\qquad w=\begin{pmatrix}2\\[8pt]-1\\[8pt]1\end{pmatrix}.}

Problème

Dans tout le problème, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb K} de dimension {n\geq1}. On note {\mathcal L(E)} l’espace de ses endomorphismes.
On note {\mathcal M_n(\mathbb K)} l’espace des matrices carrées d’ordre {n}, {\mathrm{GL}_n(\mathbb K)} le groupe des matrices inversibles, et {I_n} la matrice unité.
Pour {f\in\mathcal L(E)}, on pose {f^0=\operatorname{id}_E} et {f^{k+1}=f^k\circ f}. On note
{\chi_f(X)=\det(X\operatorname{id}_E-f),}et on rappelle le théorème de Cayley-Hamilton : {\chi_f(f)=0}.
Pour une matrice {M}, on pourra utiliser {\chi_M(X)=\det(XI_n-M)}.
Un endomorphisme {f} est dit nilpotent s’il existe un entier {p\geq1} tel que {f^p=0}. Le plus petit entier strictement positif ayant cette propriété est son indice de nilpotence.

1ère partie — Noyaux itérés

Soit {f\in\mathcal L(E)}. Pour tout entier {k\geq0}, on pose
{N_k=\ker(f^k),\qquad I_k=\operatorname{Im}(f^k).}

9. Pour tout entier {k\geq0}, on considère {\varphi_k}, la restriction de {f} à {I_k}.

2ème partie — Les endomorphismes nilpotents de rang {n-1}

Soit {U\in\mathcal M_n(\mathbb C)} de rang {n-1}. On note {u} l’endomorphisme canoniquement associé à {U} ; on travaille donc ici sur un espace complexe de dimension {n}.
10. Soient {r,s\in\mathbb N}, et soit {v} la restriction de {u^s} à {\operatorname{Im}(u^r)}.

11. On suppose de plus que {U^n=0}.

3ème partie — Réduction d’un endomorphisme particulier

Dans cette partie, {\mathbb K=\mathbb C}. Soit {f\in\mathcal L(E)} tel que {(\operatorname{id}_E,f,\ldots,f^{n-1})} soit une famille libre.
On écrit
{\chi_f(X)=\prod_{k=1}^p(X-\lambda_k)^{m_k},}où les {\lambda_k} sont les valeurs propres distinctes de {f}, de multiplicités respectives {m_k}.
Pour {1\leq k\leq p}, on pose
{F_k=\ker\bigl((f-\lambda_k\operatorname{id}_E)^{m_k}\bigr).}

15. Pour {1\leq k\leq p}, on considère l’endomorphisme {\varphi_k} de {F_k} défini par {\varphi_k(x)=f(x)-\lambda_kx}.

4ème partie — Cycles

Dans cette partie, {\mathbb K=\mathbb C}. Selon la définition de l’énoncé, un endomorphisme {f} de {E} est cyclique d’ordre {p\geq1} s’il existe {x_0\in E} tel que {f^p(x_0)=x_0} et tel que
{(x_0,f(x_0),\ldots,f^{p-1}(x_0))}soit une famille génératrice de {E} dont les éléments sont distincts deux à deux. Cette famille est alors appelée un {p}-cycle de {f}.
17. Soit {(x_0,f(x_0),\ldots,f^{p-1}(x_0))} un {p}-cycle de {f}.

18. Soit {\mathcal B_{x_0}=(x_0,f(x_0),\ldots,f^{n-1}(x_0))} un {n}-cycle de {f}.

19. Soit {M=(m_{k,\ell})_{1\leq k,\ell\leq n}} définie par {m_{k,\ell}=\overline\omega^{\,k\ell}}. On note {\overline M=(\overline{m_{k,\ell}})} sa matrice conjuguée coefficient par coefficient.

20. Soit {(b_0,b_1,\ldots,b_{n-1})\in\mathbb C^n}, et soit la matrice circulante
{H=\begin{pmatrix}b_0&b_{n-1}&\cdots&b_2&b_1\\[8pt]b_1&b_0&\ddots&\vdots&b_2\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\[8pt]b_{n-2}&\cdots&\ddots&b_0&b_{n-1}\\[8pt]b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots&b_1&b_0\end{pmatrix}.}

5ème partie — Dimension maximale d’un sous-espace de matrices nilpotentes

On note {\mathcal T} le sous-espace de {\mathcal M_n(\mathbb R)} constitué des matrices triangulaires supérieures dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.
On désigne par {S_n(\mathbb R)} l’espace des matrices symétriques réelles et par {\mathcal N} l’ensemble des matrices nilpotentes réelles de taille {n}.