CCINP 2024 — Mathématiques 1 — MP
Durée : 4 heures. Calculatrices interdites.
Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème, tous indépendants.
Exercice I
{X} est une variable aléatoire à valeurs dans {\mathbb N} d’espérance finie.
Q1. Exprimer, pour {k} non nul, {\mathbb P(X=k)} en fonction de {\mathbb P(X>k-1)} et de {\mathbb P(X>k)}.
Démontrer que pour tout {n\in\mathbb N},
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=1}^n k\mathbb P(X=k)\\[8pt]\displaystyle\quad=\sum_{k=0}^{n-1}\mathbb P(X>k)-n\mathbb P(X>n).\end{array}}Démontrer le résultat de cours :
{\mathbb E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb P(X>k).}
Démontrer que pour tout {n\in\mathbb N},
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=1}^n k\mathbb P(X=k)\\[8pt]\displaystyle\quad=\sum_{k=0}^{n-1}\mathbb P(X>k)-n\mathbb P(X>n).\end{array}}Démontrer le résultat de cours :
{\mathbb E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb P(X>k).}
Q2. Soit {n\in\mathbb N^*}. Une urne contient {n} boules numérotées de {1} à {n}. On effectue, de façon équiprobable, {p} tirages successifs avec remise et on note {X} le plus grand nombre obtenu.
Calculer, pour tout entier naturel {k}, {\mathbb P(X\leq k)}, puis donner la loi de {X}.
Calculer, pour tout entier naturel {k}, {\mathbb P(X\leq k)}, puis donner la loi de {X}.
Q3. Calculer
{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac kn\right)^p,}puis, en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour {n} au voisinage de {+\infty} de {\mathbb E(X)}.
{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac kn\right)^p,}puis, en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour {n} au voisinage de {+\infty} de {\mathbb E(X)}.
Exercice II
On considère les équations différentielles
{\begin{array}{ll}(E):&x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=1,\\[8pt](H):&x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=0.\end{array}}On note {I=]0,+\infty[}, {S_I(E)} l’ensemble des solutions de l’équation {(E)} sur {I} et {S_I(H)} l’ensemble des solutions de l’équation {(H)} sur {I}.
Q4. Donner, en justifiant, la dimension de l’espace vectoriel {S_I(H)}.
Q5. Démontrer qu’il existe une unique solution {f} de {(E)} sur {I} développable en série entière sur {\mathbb R}.
Vérifier que pour tout {x\in I},
{f(x)=\frac{\operatorname{ch}x-1}{x^2}.}
Vérifier que pour tout {x\in I},
{f(x)=\frac{\operatorname{ch}x-1}{x^2}.}
Q6. On note, pour {x\in I},
{g(x)=-\frac1{x^2},\qquad h(x)=\frac{\operatorname{sh}x}{x^2}.}On admet dans cette question que {g\in S_I(E)} et {h\in S_I(H)}. Donner, sans calculs, l’ensemble {S_I(E)}.
{g(x)=-\frac1{x^2},\qquad h(x)=\frac{\operatorname{sh}x}{x^2}.}On admet dans cette question que {g\in S_I(E)} et {h\in S_I(H)}. Donner, sans calculs, l’ensemble {S_I(E)}.
Q7. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel {S_{\mathbb R}(H)} des solutions de {(H)} sur {\mathbb R} ?
Problème
Il existe de nombreuses méthodes pour déterminer la valeur de {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2}.
Ce problème propose deux méthodes différentes de recherche de la valeur de cette somme.
Q8. Question préliminaire. Si on admet que
{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8},}que vaut la somme {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2} ?
{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8},}que vaut la somme {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2} ?
Partie I
Q9. On note, pour tout entier naturel {n},
{W_n=\int_0^{\pi/2}(\sin x)^n\,\mathrm dx.}Calculer la dérivée de la fonction {x\mapsto(\sin x)^{n+1}}, puis déterminer une relation entre {W_{n+2}} et {W_n}.
En déduire, pour tout entier naturel {n}, que
{W_{2n+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}.}
{W_n=\int_0^{\pi/2}(\sin x)^n\,\mathrm dx.}Calculer la dérivée de la fonction {x\mapsto(\sin x)^{n+1}}, puis déterminer une relation entre {W_{n+2}} et {W_n}.
En déduire, pour tout entier naturel {n}, que
{W_{2n+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}.}
Q10. Déterminer sur l’intervalle {]-1,1[} le développement en série entière des fonctions {x\mapsto1/\sqrt{1-x^2}} et {x\mapsto\operatorname{Arcsin}x}.
Q11. En déduire que pour tout {x\in[0,\pi/2[},
{x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}(\sin x)^{2n+1}.}
{x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}(\sin x)^{2n+1}.}
Q12. Justifier l’égalité suivante, dont on abrège les coefficients en posant
{c_n=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}:}{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(\sin x)^{2n+1}\right]\mathrm dx\\[8pt]\displaystyle\quad=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{\pi/2}c_n(\sin x)^{2n+1}\,\mathrm dx.\end{array}}
{c_n=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}:}{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(\sin x)^{2n+1}\right]\mathrm dx\\[8pt]\displaystyle\quad=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{\pi/2}c_n(\sin x)^{2n+1}\,\mathrm dx.\end{array}}
Q13. En déduire la valeur de {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2}.
Partie II
Q14. Donner sur l’intervalle {]-1,1[} le développement en série entière de la fonction {x\mapsto1/(x^2-1)}, puis calculer l’intégrale
{\int_0^1\frac{\ln x}{x^2-1}\,\mathrm dx.}On donnera le résultat sous la forme de la somme d’une série numérique.
{\int_0^1\frac{\ln x}{x^2-1}\,\mathrm dx.}On donnera le résultat sous la forme de la somme d’une série numérique.
Q15. On pose, pour {x\in[0,+\infty[},
{f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{Arctan}(xt)}{1+t^2}\,\mathrm dt.}Démontrer que la fonction {f} est bien définie et est continue sur l’intervalle {[0,+\infty[}.
{f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{Arctan}(xt)}{1+t^2}\,\mathrm dt.}Démontrer que la fonction {f} est bien définie et est continue sur l’intervalle {[0,+\infty[}.
Q16. Établir que cette fonction {f} est de classe {\mathcal C^1} sur l’intervalle {]0,1]} et exprimer {f'(x)} comme une intégrale.
Q17. Réduire au même dénominateur l’expression
{\frac{t}{1+t^2}-\frac{x^2t}{1+t^2x^2},}et en déduire que pour tout {x\in]0,1[},
{f'(x)=\frac{\ln x}{x^2-1}.}
{\frac{t}{1+t^2}-\frac{x^2t}{1+t^2x^2},}et en déduire que pour tout {x\in]0,1[},
{f'(x)=\frac{\ln x}{x^2-1}.}
Q18. Calculer {f(1)}, puis en déduire la valeur de {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2}.