2024-Ens-MpD-corrigé

Écoles normales supérieures 2024 — Mathématiques D — MP

Tout au long de ce sujet, la notation {A\overset{\mathrm{déf}}=B} indique que le symbole {A} est défini comme étant égal à {B}.
Rappelons que, pour tout réel {\alpha}, la série numérique {\sum\limits_{n=0}^{\infty}\alpha^n/n!} converge vers un réel strictement positif noté {e^\alpha}, appelé exponentielle de {\alpha}.
L’application {\alpha\mapsto e^\alpha} est une bijection de {\mathbb R} dans {\mathbb R_{>0}} et satisfait, pour tous {\alpha,\beta\in\mathbb R}, à {e^{\alpha+\beta}=e^\alpha e^\beta}.

Le but du sujet est de donner une preuve du résultat suivant, cas particulier du théorème d’Hermite-Lindemann-Weierstrass.
Théorème 1. Soit {r\geq2} un entier. Si {a_1,\ldots,a_r\in\mathbb Q} sont distincts, les réels {e^{a_1},\ldots,e^{a_r}} sont linéairement indépendants sur {\mathbb Q}.

Chemin faisant, nous établirons quelques propriétés arithmétiques des séries entières à coefficients rationnels solutions d’une équation différentielle.
La preuve suit l’article « An Alternative Proof of the Lindemann–Weierstrass Theorem » de F. Beukers, J. P. Bézivin et P. Robba, American Mathematical Monthly 97 (1990), 193–197, cité par l’énoncé.

A. Quelques conséquences

On dit que le nombre {e^a} est transcendant.

B. Séries entières et fractions rationnelles

Une série entière à coefficients rationnels est une suite {(c_n)_{n\geq0}} de rationnels, que l’on écrit formellement {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n}.
Le mot « formellement » signifie que l’on ne suppose aucune convergence après substitution d’un réel à {x}. Pour {g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}d_nx^n}, les opérations sont définies par :
{\begin{array}{l}(f+g)(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(c_n+d_n)x^n,\\[4pt](fg)(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n c_kd_{n-k}\right)x^n.\end{array}}Les éléments neutres sont les suites {(0,0,\ldots)} et {(1,0,0,\ldots)}, notées {0} et {1}.
La dérivée de {f} est définie par :
{f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}x^n.}La dérivation est linéaire et satisfait à la règle de Leibniz {(fg)'=f'g+fg'}.
On note {\mathbb Q[[x]]} l’ensemble de ces séries. Les polynômes {\mathbb Q[x]} s’identifient aux séries dont tous les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang.

On note {\mathbb C(x)} l’ensemble des fractions rationnelles {P/Q}, avec {P,Q\in\mathbb C[x]} et {Q\neq0}, et {\mathbb Q(x)} celles qui admettent une telle écriture à coefficients rationnels.
Pour {\alpha\in\mathbb C} et un polynôme non nul {R}, on note {\operatorname{ord}_\alpha(R)} la multiplicité de sa racine {\alpha}, ou zéro si {R(\alpha)\neq0}.
Un nombre {\alpha} est un pôle de la fraction non nulle {P/Q} si {\operatorname{ord}_\alpha(Q)>\operatorname{ord}_\alpha(P)}. L’ordre du pôle est la différence de ces deux entiers. La fraction nulle n’a pas de pôle.

On dit que {g} est le développement en série entière de {P/Q}, et l’on écrit {g=P/Q}.

Une série {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n} est dite globalement bornée s’il existe des entiers {A,B\geq1} tels que :
{Af(Bx)=\sum_{n=0}^{\infty}AB^nc_nx^n}soit à coefficients entiers.

On définit la primitive formelle de {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n} par :
{\int_0^x f(t)\,\mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{n+1}x^{n+1}.}

C. Séries entières et opérateurs différentiels

Un opérateur différentiel désigne ici une expression :
{L=\sum_{j=0}^\mu R_j(x)\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^j,}où {\mu\geq0} et {R_0,\ldots,R_\mu\in\mathbb Q[x]}. Si {R_\mu\neq0}, son ordre est {\mu}.
Il agit sur les séries formelles par {L\cdot f=\sum\limits_{j=0}^\mu R_j(x)f^{(j)}(x)}, où {f^{(j)}} est la dérivée formelle d’ordre {j}.

Une série {f\in\mathbb Q[[x]]} est dite solution d’une équation différentielle d’ordre {\mu} s’il existe un opérateur non nul {L} d’ordre {\mu} tel que {L\cdot f=0}.

D. Stratégie de la démonstration du théorème 1

Soient {r\geq2}, des rationnels distincts {a_1,\ldots,a_r}, et des rationnels non nuls {b_1,\ldots,b_r}. Posons :
{e^{a_ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_i^n}{n!}x^n,}et considérons :
{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u_n}{n!}x^n=\sum_{i=1}^r b_ie^{a_ix}.}

Considérons :
{v_n=n!\sum_{i=0}^n\frac{u_i}{i!},\qquad v(x)=\sum_{n=0}^{\infty}v_nx^n.}

Nous avons ainsi réduit la démonstration du théorème 1 à celle de la proposition suivante, objet des parties E et F.
Proposition 1. Si {b_1e^{a_1}+\cdots+b_re^{a_r}=0}, alors {v(x)} est le développement d’une fraction rationnelle à coefficients rationnels.
On appelle polynôme exponentiel toute série de la forme :
{f(x)=\sum_{i=1}^s P_i(x)e^{c_ix},}où {c_1,\ldots,c_s\in\mathbb Q} et {P_1,\ldots,P_s\in\mathbb Q[x]}.

E. L’arithmétique des coefficients {v_n}

Rappelons l’hypothèse {b_1e^{a_1}+\cdots+b_re^{a_r}=0} de la proposition 1. Quitte à multiplier {f} par un entier non nul, on peut supposer que {u_0,\ldots,u_{r-1}} sont entiers. On fait désormais cette hypothèse.
Définissons {s_1,\ldots,s_r\in\mathbb Q} par :
{\prod_{i=1}^r(T-a_i)=T^r-s_1T^{r-1}-\cdots-s_r.}

Soit {D\geq1} un dénominateur commun entier des rationnels {a_1,\ldots,a_r}, et soit :
{A=\max(1,|a_1|,\ldots,|a_r|).}Coquille de l’énoncé. Le dernier indice est imprimé {n} dans ce maximum ; il faut lire {r}, puisque la liste fixée comporte {r} nombres.

Pour tous {n,k\geq0}, définissons {v_n(k)} par :
{(1-s_1x-\cdots-s_rx^r)^kv(x)=\sum_{n=0}^{\infty}v_n(k)x^n.}Dans les réponses suivantes, on abrégera le polynôme récurrent en :
{q(x)=1-s_1x-\cdots-s_rx^r=\prod_{i=1}^r(1-a_ix).}

Posons {C=1+|s_1|+\cdots+|s_r|}.

F. Démonstration de la proposition 1

Dans cette partie, nous démontrons la proposition 1, concluant ainsi la démonstration du théorème 1. D’après la question 27, il suffit de prouver qu’il existe {k_0\geq0} tel que {\sum\limits_{n=0}^{\infty}v_n(k_0)x^n} soit un polynôme.

Le théorème est démontré !

G. Fonctions {E}

Dans cette dernière partie, on généralise à une classe plus large de séries l’énoncé de la question 23 : le quotient par {x-1} d’un polynôme exponentiel s’annulant en {1} est encore un polynôme exponentiel.
Une fonction {E} à coefficients rationnels est une série :
{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}x^n\in\mathbb Q[[x]]}satisfaisant aux deux conditions suivantes.
(a) Elle est solution d’une équation différentielle.
(b) Il existe {C>0} tel que, pour tout {n\geq1} :
{|b_n|\leq C^n,\qquad\operatorname{dén}(b_0,\ldots,b_n)\leq C^n.}La notation {\operatorname{dén}(b_0,\ldots,b_n)} désigne le plus petit entier {d\geq1} tel que {db_0,\ldots,db_n} soient tous entiers.
Les polynômes rationnels sont des exemples de fonctions {E}. La notation {\widehat f} désigne toujours la transformée formelle introduite en question 17.

Ce dernier résultat est l’un des ingrédients de la méthode mise en place par Y. André à la fin des années 1990 pour démontrer le théorème de Siegel-Shidlovskii.
Ce théorème de transcendance concerne les valeurs des fonctions {E} en des nombres rationnels. Il généralise le théorème d’Hermite-Lindemann-Weierstrass et implique, par exemple, que {J_0(\alpha)} est transcendant pour tout rationnel non nul {\alpha}.
Fin du sujet.