Écoles normales supérieures 2024 — Mathématiques C — MP, MPI
Notations
Soit {E} une partie de {\mathbb C}.
À toute suite {(u_n)_{n\in\mathbb N}} à valeurs dans {E}, ce que l’on note {(u_n)_{n\in\mathbb N}\in E^{\mathbb N}}, on associe la suite {(\sigma_n)_{n\in\mathbb N}} des sommes partielles de Cesàro définie par :
{\sigma_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n u_k\qquad(n\geq0),}et la suite {(e_n)_{n\in\mathbb N}} des écarts définie par {e_n=u_{n+1}-u_n} pour {n\geq0}.
À toute série {\sum\limits_{n\geq0}a_n} avec {(a_n)\in E^{\mathbb N}}, on associe la suite des sommes partielles :
{S_n=\sum_{k=0}^n a_k\qquad(n\geq0).}Si la série converge, on note {S} sa somme et {(R_n)} la suite de ses restes :
{\begin{array}{l}S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=\lim_{N\to+\infty}S_N,\\[4pt]R_n=S-S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.\end{array}}À toute série entière {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n}, de rayon de convergence {R>0}, on associe sa somme {f}, définie sur {D(0,R)=\{z\in\mathbb C:|z|\lt R\}} par :
{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n.}Étant donné un intervalle {I} de {\mathbb R}, {\mathcal C^0(I)} désigne l’espace des fonctions continues de {I} dans {\mathbb R} et {\mathcal C_b^0(I)} celui des fonctions continues et bornées de {I} dans {\mathbb R}.
1. Lemme de Cesàro
Le but de cette partie est de démontrer le lemme de Cesàro, voir question 1, d’en proposer des applications et d’établir certaines variantes puis des réciproques partielles.
1. Soit {(u_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb C}. Démontrer que :
{u_n\longrightarrow\ell\ \Longrightarrow\ \sigma_n\longrightarrow\ell.}C’est le lemme (Cesàro).
Si {(u_n)} est à valeurs réelles, démontrer que le résultat subsiste si {\ell=+\infty} ou {\ell=-\infty}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Applications
2. En utilisant (Cesàro), calculer la limite de la suite {(v_n)_{n\geq1}} définie par {v_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac1{kn}}. Puis, à l’aide d’une comparaison série-intégrale, donner un équivalent de {(v_n)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Soit {(u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}} et {\alpha\in\mathbb R^*}. On suppose que {e_n\to\alpha}. En utilisant (Cesàro), donner un équivalent de {(u_n)}. Retrouver ce résultat par un théorème de comparaison de séries à termes positifs.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Soit {(u_n)\in]0,+\infty[^{\mathbb N}} et {\ell\in]0,+\infty[}. On suppose que {u_{n+1}/u_n\to\ell}. Démontrer que {\sqrt[n]{u_n}\to\ell}.
Démontrer que le résultat subsiste si {\ell=0} ou {\ell=+\infty}. En déduire les limites de {\sqrt[n]{n!}} et de {\sqrt[n]{n^n/n!}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. Soit {(a_n),(b_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {a,b\in\mathbb C}. On suppose que {a_n\to a} et {b_n\to b}. Démontrer que :
{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=ab.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
6. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_n} et {\sum\limits_{n\geq0}b_n} deux séries de nombres complexes, convergentes de sommes respectives {A} et {B}. On pose :
{c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k},\qquad C_n=\sum_{k=0}^n c_k.}Démontrer que :
{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n C_k=AB.\qquad\text{(Cauchy)}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Réciproques partielles
7. Vérifier que la réciproque de (Cesàro) n’est pas toujours vraie en exhibant une suite réelle {(u_n)} qui ne converge pas et telle que {(\sigma_n)} converge dans {\mathbb R}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
8. Soit {(u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb R}. Démontrer que :
{\left.\begin{array}{l}\sigma_n\longrightarrow\ell,\\[4pt](u_n)\text{ monotone}\end{array}\right\}\Longrightarrow u_n\longrightarrow\ell.}Démontrer que le résultat subsiste pour {\ell=+\infty} ou {\ell=-\infty}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
9. Soit {(u_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb C}. Démontrer que :
{\begin{array}{c}\sigma_n\longrightarrow\ell\quad\text{et}\quad e_n=o(1/n)\\[4pt]\Longrightarrow\quad u_n\longrightarrow\ell.\end{array}}C’est le résultat (Hardy faible).
Indication : on pourra démontrer que, pour tout {n\geq1}, {\sum\limits_{k=0}^n ke_k=nu_{n+1}-\sum\limits_{k=1}^n u_k}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
10. Soit {(u_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb C}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\sigma_n\longrightarrow\ell\quad\text{et}\quad e_n=O(1/n)\\[4pt]\Longrightarrow\quad u_n\longrightarrow\ell.\end{array}}C’est le résultat (Hardy fort).
On suppose que {\sigma_n\to\ell} et {e_n=O(1/n)}.
10. (a) Soit {0\leq n\lt m}. Démontrer que :
{\sum_{k=n+1}^m u_k-(m-n)u_n=\sum_{j=n}^{m-1}(m-j)e_j.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
10. (b) En déduire qu’il existe une constante {C>0} telle que, pour tous {2\leq n\lt m} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\left|\frac{(m+1)\sigma_m-(n+1)\sigma_n}{m-n}-u_n\right|\\[4pt]\qquad\leq C\ln\left(\frac{m-1}{n-1}\right),\end{array}}et :
{\begin{array}{rl}|u_n-\ell|&\leq C\ln\left(\dfrac{m-1}{n-1}\right)\\[4pt]&\quad+\dfrac{m+1}{m-n}(|\sigma_m-\ell|+|\sigma_n-\ell|).\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
10. (c) En déduire (Hardy fort). Indication : on pourra prendre {m=1+\lfloor\alpha n\rfloor} avec un paramètre {\alpha>1} à choisir, où {\lfloor x\rfloor} désigne la partie entière de {x\in\mathbb R}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Théorème d’Abel
Le but de cette partie est de démontrer le théorème d’Abel, voir question 1, d’en proposer des applications et d’établir certaines variantes et des réciproques partielles.
1. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence {R\geq1} et de somme {f}. Pour {\theta_0\in[0,\pi/2[}, on note {\Delta_{\theta_0}} l’ensemble des {z\in\mathbb C} tels que {|z|\lt1} et :
{\begin{array}{l}z=1-\rho e^{i\theta},\\[4pt]\rho>0,\qquad\theta\in[-\theta_0,\theta_0].\end{array}}Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\sum_{n\geq0}a_n\text{ converge}\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\lim_{\substack{z\to1\\[4pt]z\in\Delta_{\theta_0}}}f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n.\end{array}}C’est le théorème (Abel).
1. (a) Démontrer (Abel) pour {R>1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
À partir de maintenant, on suppose que {R=1} et que {\sum\limits_{n\geq0}a_n} converge, et on se donne un {\theta_0\in[0,\pi/2[}.
1. (b) Démontrer que, pour tous {N\in\mathbb N^*} et {z\in\mathbb C} avec {|z|\lt1} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^N a_nz^n-S_N\\[4pt]\quad=(z-1)\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}R_nz^n-R_N(z^N-1).\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1. (c) En déduire que pour tout {z\in\mathbb C} avec {|z|\lt1}{f(z)-S=(z-1)\sum_{n=0}^{+\infty}R_nz^n.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1. (d) Soit {\varepsilon>0}. Démontrer qu’il existe {N_0\in\mathbb N} tel que, pour tout {z\in\mathbb C} avec {|z|\lt1} :
{|f(z)-S|\leq|z-1|\sum_{n=0}^{N_0}|R_n|+\varepsilon\frac{|z-1|}{1-|z|}.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1. (e) Démontrer qu’il existe {\rho(\theta_0)>0} tel que, pour tout {z\in\Delta_{\theta_0}} de la forme {z=1-\rho e^{i\theta}} avec {0\lt\rho\leq\rho(\theta_0)} :
{\frac{|z-1|}{1-|z|}\leq\frac2{\cos\theta_0}.}En déduire (Abel).
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Démontrer que :
{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Exhiber une série entière {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} de rayon de convergence {1} et de somme {f}, telle que {f(z)} converge quand {z\to1}, {|z|\lt1}, et telle que la série {\sum\limits_{n\geq0}a_n} ne converge pas.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence {1} et de somme {f}. Soit {S\in\mathbb C}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=S\quad\text{et}\quad a_n=o(1/n)\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\sum_{n\geq0}a_n\text{ converge, de somme }S.\end{array}}C’est le théorème (Taubérien faible). Dans la suite de cette question, on suppose que {f(x)\to S} lorsque {x\to1^-} et que {a_n=o(1/n)}.
4. (a) Démontrer que, pour tous {n\in\mathbb N^*} et {x\in]0,1[} :
{|S_n\!-\!f(x)|\leq(1\!-\!x)\sum_{k=1}^n k|a_k|\!+\!\frac{\sup_{k>n}(k|a_k|)}{n(1\!-\!x)}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. (b) En déduire (Taubérien faible) en spécifiant {x=x_n=1-1/n} pour {n\in\mathbb N^*}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence {1} et de somme {f}. Soit {S\in\mathbb C}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=S\quad\text{et}\quad a_n=O(1/n)\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\sum_{n\geq0}a_n\text{ converge, de somme }S.\end{array}}C’est le théorème (Taubérien fort).
5. (a) Démontrer que, sans perte de généralité, on peut supposer que {S=0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On suppose désormais que {f(x)\to S} lorsque {x\to1^-} et que {a_n=O(1/n)}, avec {S=0}.
5. (b) On définit {\Theta} comme l’ensemble des fonctions {\theta:[0,1]\to\mathbb R} vérifiant les deux conditions :
{\begin{array}{l}\text{pour tout }x\in[0,1[,\quad\sum\limits_{n\geq0}a_n\theta(x^n)\text{ converge},\\[4pt]\displaystyle\lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\theta(x^n)=0.\end{array}}Démontrer que {\Theta} est un espace vectoriel sur {\mathbb R}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (c) Soit {P\in\mathbb R[X]} tel que {P(0)=0}. Démontrer que {P\in\Theta}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (d) Démontrer que, pour tout {P\in\mathbb R[X]} :
{\lim_{x\to1^-,\ x\in\mathbb R}(1-x)\sum_{n=0}^{+\infty}x^nP(x^n)=\int_0^1P(t)\,\mathrm dt.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On définit la fonction {g:\mathbb R\to\mathbb R} par :
{g(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&\text{si }x\in[1/2,1],\\[4pt]0&\text{sinon}.\end{array}\right.}
5. (e) Démontrer que, pour établir (Taubérien fort), il suffit de démontrer que {g\in\Theta}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (f) Soit :
{h(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1&\text{si }x=0,\\[4pt]\dfrac{g(x)-x}{x(1-x)}&\text{si }0\lt x\lt1,\\[4pt]1&\text{si }x=1.\end{array}\right.}Étant donné {\varepsilon>0}, démontrer qu’il existe {s_1,s_2\in\mathcal C^0([0,1])} vérifiant :
{s_1\leq h\leq s_2,\qquad\int_0^1(s_2(x)-s_1(x))\,\mathrm dx\leq\varepsilon.}Représenter graphiquement {h} et deux telles fonctions {s_1,s_2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
À partir de maintenant, {\varepsilon>0}, {s_1} et {s_2} sont fixés.
5. (g) Démontrer qu’il existe {T_1,T_2\in\mathbb R[X]} tels que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|T_1(x)-s_1(x)|\leq\varepsilon,\\[4pt]\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|T_2(x)-s_2(x)|\leq\varepsilon.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On pose, pour tout {x\in[0,1]} :
{\begin{array}{l}P_1(x)=x+x(1-x)(T_1(x)-\varepsilon),\\[4pt]P_2(x)=x+x(1-x)(T_2(x)+\varepsilon),\\[4pt]Q(x)=\dfrac{P_2(x)-P_1(x)}{x(1-x)}.\end{array}}
5. (h) Démontrer que :
{\begin{array}{l}P_1(0)=P_2(0)=0,\\[4pt]P_1(1)=P_2(1)=1,\\[4pt]P_1\leq g\leq P_2,\qquad0\leq\displaystyle\int_0^1Q(x)\,\mathrm dx\leq5\varepsilon.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (i) Démontrer qu’il existe {M>0} tel que, pour tout {x\in]0,1[} :
{\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ng(x^n)\\[4pt]\quad-\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nP_1(x^n)\end{array}\right|\\[4pt]\qquad\leq M(1-x)\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}x^nQ(x^n).\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (j) Conclure.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Variantes continues du lemme de Cesàro et du théorème d’Abel
Le but de cette partie est d’étudier des versions continues du lemme de Cesàro, du théorème d’Abel et de leurs réciproques partielles.
1. Soit {f\in\mathcal C^0([0,+\infty[)} et {\ell\in\mathbb R}. Démontrer que :
Les limites sont prises lorsque {x\to+\infty} :
{\begin{array}{c}f(x)\longrightarrow\ell\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\frac1x\int_0^x f(t)\,\mathrm dt\longrightarrow\ell.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. À l’aide d’un contre-exemple, démontrer que la réciproque du résultat de la question 1 est fausse.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Soit {f\in\mathcal C^0([0,+\infty[)} et {\ell\in\mathbb R}. Démontrer que :
Les limites sont prises lorsque {x\to+\infty} :
{\begin{array}{c}f(x+1)-f(x)\longrightarrow\ell\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\dfrac{f(x)}x\longrightarrow\ell.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Soit {f\in\mathcal C_b^0([0,+\infty[)}. On définit sa transformée de Laplace par :
{\mathcal L(f)(t)=\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,\mathrm dx\qquad(t>0).}Démontrer que {\mathcal L(f)} est bien définie et de classe {\mathcal C^1} sur {]0,+\infty[}, et exprimer sa dérivée.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. Soit {f\in\mathcal C_b^0([0,+\infty[)}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx\text{ converge}\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\lim_{t\to0^+}\mathcal L(f)(t)=\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx.\end{array}}On suppose que {\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx} converge.
5. (a) Démontrer que la fonction :
{F(x)=\int_x^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt\qquad(x\geq0)}est bien définie, continue et bornée sur {[0,+\infty[}, de classe {\mathcal C^1} sur {]0,+\infty[} et vérifie {F'=-f}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (b) Démontrer que {\lim\limits_{t\to0^+}\mathcal L(f)(t)=\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx} par une intégration par parties.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
6. Démontrer que :
{\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm dx=\frac\pi2.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
7. Soit {f\in\mathcal C_b^0([0,+\infty[)} et {S\in\mathbb R}. Démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{t\to0^+}\mathcal L(f)(t)=S,\\[4pt]f(t)=O(1/t)\quad(t\to+\infty)\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx\text{ converge et vaut }S.\end{array}}Pour cela, en utilisant les notations de la question 5 de la section 2, on pourra démontrer qu’il existe {M>0} et {A>0} tels que, pour tout {t>0} :
{\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\displaystyle\int_A^{+\infty}f(x)g(e^{-tx})\,\mathrm dx\\[4pt]\quad-\displaystyle\int_A^{+\infty}f(x)P_1(e^{-tx})\,\mathrm dx\end{array}\right|\\[4pt]\quad\leq M\displaystyle\int_A^{+\infty}Q(e^{-tx})e^{-tx}\frac{1-e^{-tx}}x\,\mathrm dx\\[4pt]\quad\leq M\displaystyle\int_0^1Q(u)\,\mathrm du.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :