École polytechnique – Écoles normales supérieures 2024 — Mathématiques A — MP, MPI
Le problème comporte deux parties indépendantes.
Notations
On note {\mathbb N} l’ensemble des entiers naturels et {\mathbb N^*} celui des entiers naturels non nuls. Pour {n\geq1}, {\mathfrak S_n} est le groupe des permutations de {\{1,\ldots,n\}} et {\varepsilon(\sigma)} la signature de {\sigma\in\mathfrak S_n}.
Un point fixe de {\sigma} est un entier {i} tel que {\sigma(i)=i}. On note {\nu(\sigma)} le nombre de points fixes de {\sigma}, {\mathcal D_n} l’ensemble des dérangements, c’est-à-dire des permutations sans point fixe, et {D_n=\operatorname{Card}(\mathcal D_n)}.
Pour {0\leq k\leq n}, {\binom nk} désigne le nombre de parties à {k} éléments d’un ensemble à {n} éléments. On pose {\binom nk=0} lorsque {k>n}.
On note {\mathbb R[X]} l’espace des polynômes réels et {\mathbb R_n[X]} celui des polynômes de degré inférieur ou égal à {n}. Pour {d\geq1} et {n\geq0}, {d\mid n} signifie que {d} divise {n}.
Pour {x\in\mathbb R}, sa partie entière est notée {E(x)} ; elle est caractérisée par {E(x)\leq x\lt E(x)+1}.
Si {p} est premier et {n\geq1}, on pose :
{\nu_p(n)=\max\{\nu\in\mathbb N:p^\nu\mid n\}.}L’espace des matrices réelles carrées d’ordre {n} est noté {\mathcal M_n(\mathbb R)}. Pour tout ensemble {E}, {\mathcal P(E)} désigne l’ensemble de ses parties.
On note {\ln_2} la fonction définie sur {]1,+\infty[} par {\ln_2(x)=\ln(\ln x)}.
Pour une suite {(a_n)_{n\geq1}} et un réel {x}, les notations {\sum\limits_{n\leq x}a_n}, {\sum\limits_{\substack{p\leq x\\[4pt]p\text{ premier}}}a_p} et {\prod\limits_{\substack{p\leq x\\[4pt]p\text{ premier}}}a_p} désignent respectivement la somme sur les entiers {1\leq n\leq E(x)}, la somme et le produit sur les nombres premiers {p\leq E(x)}.
Une somme sur l’ensemble vide vaut {0} et un produit sur l’ensemble vide vaut {1}.
On pourra utiliser sans démonstration l’existence d’un réel {\gamma} tel que :
{\sum_{k=1}^n\frac1k=\ln n+\gamma+O\left(\frac1n\right)\quad(n\to+\infty).}
Première partie
Soit {n\geq2}. Pour tout {x\in\mathbb R}, on considère :
{M_x=\left(\begin{array}{cccc}x&1&\cdots&1\\[4pt]1&x&\ddots&\vdots\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&1\\[4pt]1&\cdots&1&x\end{array}\right)\in\mathcal M_n(\mathbb R).}
1a. Montrer que {-M_0} est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
1b. En déduire que, pour tout {x\in\mathbb R} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)x^{\nu(\sigma)}\\[4pt]\qquad=(x-1)^{n-1}(x+n-1).\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)x^{\nu(\sigma)}\\[4pt]\qquad=(x-1)^{n-1}(x+n-1).\end{array}}
2. Calculer :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma),\\[4pt]\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)\nu(\sigma),\\[4pt]\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\frac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma),\\[4pt]\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)\nu(\sigma),\\[4pt]\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\frac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}.\end{array}}
3. Établir que :
{\begin{array}{l}\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathfrak S_n:\varepsilon(\sigma)=1\}\\[4pt]\qquad=\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathfrak S_n:\varepsilon(\sigma)=-1\},\end{array}}et en déduire la probabilité qu’une permutation de {\mathfrak S_n} tirée uniformément au hasard soit de signature prescrite.
{\begin{array}{l}\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathfrak S_n:\varepsilon(\sigma)=1\}\\[4pt]\qquad=\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathfrak S_n:\varepsilon(\sigma)=-1\},\end{array}}et en déduire la probabilité qu’une permutation de {\mathfrak S_n} tirée uniformément au hasard soit de signature prescrite.
4. Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, préciser à quelle condition sur {\nu(\sigma)} on a {\sigma\in\mathcal D_n}. En déduire que :
{\begin{array}{l}\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathcal D_n:\varepsilon(\sigma)=1\}\\[4pt]\quad=\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathcal D_n:\varepsilon(\sigma)=-1\}\\[4pt]\qquad+(-1)^{n-1}(n-1).\end{array}}
{\begin{array}{l}\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathcal D_n:\varepsilon(\sigma)=1\}\\[4pt]\quad=\operatorname{Card}\{\sigma\in\mathcal D_n:\varepsilon(\sigma)=-1\}\\[4pt]\qquad+(-1)^{n-1}(n-1).\end{array}}
Soit {m\in\mathbb N}. On considère la matrice triangulaire inférieure {M\in\mathcal M_{m+1}(\mathbb R)} dont les lignes et colonnes sont indexées de {0} à {m}, définie par :
{M_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}\binom ij&\text{si }j\leq i,\\[4pt]0&\text{si }j>i.\end{array}\right.}
5a. Justifier que {(1,X,\ldots,X^m)} et {(1,X-1,\ldots,(X-1)^m)} sont des bases de {\mathbb R_m[X]}.
5b. Montrer que la transposée de {M} est la matrice de l’application identité de {\mathbb R_m[X]}, dans les bases {(1,X,\ldots,X^m)} au départ et {(1,X-1,\ldots,(X-1)^m)} à l’arrivée.
5c. Établir que {M} est inversible et expliciter son inverse.
5d. En déduire que, pour tous {(u_0,\ldots,u_m),(v_0,\ldots,v_m)\in\mathbb R^{m+1}}, si, pour tout {k\leq m},
{u_k=\sum_{\ell=0}^k\binom k\ell v_\ell,}alors, pour tout {k\leq m},
{v_k=\sum_{\ell=0}^k(-1)^{k-\ell}\binom k\ell u_\ell.}
{u_k=\sum_{\ell=0}^k\binom k\ell v_\ell,}alors, pour tout {k\leq m},
{v_k=\sum_{\ell=0}^k(-1)^{k-\ell}\binom k\ell u_\ell.}
6. Montrer que, pour tout entier {n\geq1} :
{D_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}.}
{D_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}.}
Pour {n\geq2}, on munit {(\mathcal D_n,\mathcal P(\mathcal D_n))} de la probabilité uniforme et on définit {Y_n(\sigma)=\varepsilon(\sigma)}.
7a. Expliciter la loi de {Y_n}.
7b. Calculer, pour tout {\epsilon\in\{-1,1\}}, {\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb P(Y_n=\epsilon)}.
Pour {n\geq2}, on munit {(\mathfrak S_n,\mathcal P(\mathfrak S_n))} de la probabilité uniforme et on définit {Z_n(\sigma)=\nu(\sigma)}.
8a. Expliciter la loi de {Z_n}.
8b. Calculer, pour tout entier naturel {k\leq n}, {\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb P(Z_n=k)}.
8c. Déterminer le nombre moyen de points fixes d’une permutation aléatoire, ainsi que sa limite quand {n} tend vers {+\infty}.
Soit {n\geq1}. Pour toute permutation {\sigma\in\mathfrak S_n}, on considère sa décomposition en cycles à supports disjoints, unique à l’ordre près :
{\sigma=c_1\cdots c_{\omega(\sigma)}.}Leurs longueurs sont notées {\ell_1\leq\cdots\leq\ell_{\omega(\sigma)}}, avec {\sum\limits_i\ell_i=n}. On compte ici les cycles de longueur {1}, correspondant aux points fixes.
L’identité de {\{1,\ldots,n\}} a donc {n} cycles, tous de longueur {1}. La permutation {(1,2)} de {\{1,2,3\}} a deux cycles : le cycle de longueur {2} et le cycle de longueur {1} porté par le point fixe {3}.
On obtient une application {\omega:\mathfrak S_n\to\mathbb N}. On cherche à montrer qu’en moyenne, {\omega(\sigma)} est de l’ordre de {\ln n}, en un sens à préciser.
Pour {k\leq n}, on note {s(n,k)} le nombre de permutations ayant {k} cycles. Sur {\mathfrak S_n} muni de la probabilité uniforme, on définit {X_n(\sigma)=\omega(\sigma)}.
9. Calculer, pour {n\in\{2,3,4\}} :
{\frac1{n!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\omega(\sigma).}
{\frac1{n!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\omega(\sigma).}
10. Préciser {s(n,n)} et {s(n,1)}, puis montrer que, pour {2\leq k\leq n-1} :
{s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k).}Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, on pourra distinguer les cas {\sigma(1)=1} et {\sigma(1)\neq1}.
{s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k).}Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, on pourra distinguer les cas {\sigma(1)=1} et {\sigma(1)\neq1}.
11. Établir que, pour tout réel {x} :
{\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\sum_{k=1}^ns(n,k)x^k.}
{\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\sum_{k=1}^ns(n,k)x^k.}
12. Démontrer que, lorsque {n\to+\infty} :
{\mathbb E[X_n]=\ln n+\gamma+O(1/n).}
{\mathbb E[X_n]=\ln n+\gamma+O(1/n).}
13a. Montrer que :
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^nk(k-1)s(n,k)\\[4pt]\qquad=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac1{ij}-\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^nk(k-1)s(n,k)\\[4pt]\qquad=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac1{ij}-\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}.\end{array}}
13b. En déduire que :
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2s(n,k)\\[4pt]\qquad=\mathbb E[X_n]+\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac1{ij}-\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2s(n,k)\\[4pt]\qquad=\mathbb E[X_n]+\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac1{ij}-\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}.\end{array}}
14a. Montrer que, lorsque {n\to+\infty} :
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\omega(\sigma)^2\\[4pt]\qquad=(\ln n)^2+(2\gamma+1)\ln n+c\\[4pt]\qquad\quad+O\left(\dfrac{\ln n}{n}\right),\end{array}}pour un réel {c} à préciser.
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\omega(\sigma)^2\\[4pt]\qquad=(\ln n)^2+(2\gamma+1)\ln n+c\\[4pt]\qquad\quad+O\left(\dfrac{\ln n}{n}\right),\end{array}}pour un réel {c} à préciser.
14b. Montrer que, lorsque {n\to+\infty} :
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}(\omega(\sigma)-\ln n)^2\\[4pt]\qquad=\ln n+c+O\left(\dfrac{\ln n}{n}\right).\end{array}}
{\begin{array}{l}\dfrac1{n!}\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}(\omega(\sigma)-\ln n)^2\\[4pt]\qquad=\ln n+c+O\left(\dfrac{\ln n}{n}\right).\end{array}}
15. Justifier qu’il existe {C>0} tel que, pour tout {\epsilon>0} et tout entier {n\geq1} :
{\mathbb P(|X_n-\ln n|>\epsilon\ln n)\leq\frac C{\epsilon^2\ln n}.}
{\mathbb P(|X_n-\ln n|>\epsilon\ln n)\leq\frac C{\epsilon^2\ln n}.}
Deuxième partie
Pour tout entier {n\geq1}, on pose :
{\omega(n)=\operatorname{Card}\{p\text{ premier}:p\mid n\}=\sum_{\substack{p\mid n\\[4pt]p\text{ premier}}}1.}Par exemple, {\omega(6)=\omega(12)=2}. Dans cette partie, {\omega} compte donc les diviseurs premiers distincts d’un entier.
16. Soit {(a_n)_{n\geq2}} une suite réelle. Pour {t\in\mathbb R}, on pose {A(t)=\sum\limits_{2\leq k\leq t}a_k}. Soit {b:[2,+\infty[\to\mathbb R} de classe {\mathcal C^1}.
Montrer que, pour tout entier {n\geq2} :
{\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=2}^na_kb(k)&=A(n)b(n)\\[4pt]&\quad-\displaystyle\int_2^nb'(t)A(t)\,\mathrm dt.\end{array}}
Montrer que, pour tout entier {n\geq2} :
{\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=2}^na_kb(k)&=A(n)b(n)\\[4pt]&\quad-\displaystyle\int_2^nb'(t)A(t)\,\mathrm dt.\end{array}}
17. L’objectif est de montrer que, pour tout entier {n\geq1} :
{\prod_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}p\leq4^n.}
17a. Traiter les cas {n\in\{1,2,3\}}.
On suppose à présent {n\geq4} et le résultat connu pour tout entier {k} compris entre {1} et {n-1}.
17b. Établir le résultat au rang {n} si {n} est pair.
17c. Soit {n=2m+1} avec {m\in\mathbb N}. Justifier que :
{\prod_{\substack{m+1\lt p\leq2m+1\\[4pt]p\text{ premier}}}p\quad\text{divise}\quad\binom{2m+1}{m},}et montrer que {\binom{2m+1}{m}\leq4^m}.
{\prod_{\substack{m+1\lt p\leq2m+1\\[4pt]p\text{ premier}}}p\quad\text{divise}\quad\binom{2m+1}{m},}et montrer que {\binom{2m+1}{m}\leq4^m}.
17d. Conclure.
18. Soient {n\geq1} un entier et {p} un nombre premier. Justifier la formule :
{\nu_p(n!)=\sum_{k=1}^{+\infty}E\left(\frac n{p^k}\right),}et montrer que :
{\frac np-1\lt\nu_p(n!)\leq\frac np+\frac n{p(p-1)}.}
{\nu_p(n!)=\sum_{k=1}^{+\infty}E\left(\frac n{p^k}\right),}et montrer que :
{\frac np-1\lt\nu_p(n!)\leq\frac np+\frac n{p(p-1)}.}
19a. Par comparaison avec une intégrale, établir que, lorsque {n\to+\infty} :
{\sum_{k=1}^n\ln k=n\ln n-n+O(\ln n).}
{\sum_{k=1}^n\ln k=n\ln n-n+O(\ln n).}
19b. Justifier que :
{n!=\prod_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}p^{\nu_p(n!)},}et en déduire les inégalités :
{\begin{array}{l}n\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}-n\ln4\lt\ln(n!),\\[4pt]\ln(n!)\leq n\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}\\[4pt]\qquad\quad+n\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p(p-1)}.\end{array}}
{n!=\prod_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}p^{\nu_p(n!)},}et en déduire les inégalités :
{\begin{array}{l}n\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}-n\ln4\lt\ln(n!),\\[4pt]\ln(n!)\leq n\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}\\[4pt]\qquad\quad+n\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p(p-1)}.\end{array}}
19c. Justifier que la série {\sum\limits_{k\geq2}\dfrac{\ln k}{k(k-1)}} converge.
19d. Conclure que, lorsque {n\to+\infty} :
{\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}=\ln n+O(1).}
{\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}=\ln n+O(1).}
20a. Pour tout réel {t\geq2}, on pose :
{R(t)=\sum_{\substack{p\leq t\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}-\ln t.}Montrer, en utilisant la question 16, que, pour {n\geq2} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac1p\\[4pt]\quad=1+\ln_2(n)-\ln_2(2)+\dfrac{R(n)}{\ln n}\\[4pt]\qquad+\displaystyle\int_2^n\frac{R(t)}{t(\ln t)^2}\,\mathrm dt.\end{array}}
{R(t)=\sum_{\substack{p\leq t\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac{\ln p}{p}-\ln t.}Montrer, en utilisant la question 16, que, pour {n\geq2} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac1p\\[4pt]\quad=1+\ln_2(n)-\ln_2(2)+\dfrac{R(n)}{\ln n}\\[4pt]\qquad+\displaystyle\int_2^n\frac{R(t)}{t(\ln t)^2}\,\mathrm dt.\end{array}}
20b. Justifier que {t\mapsto\dfrac{R(t)}{t(\ln t)^2}} est intégrable sur {[2,+\infty[}.
20c. Établir que, lorsque {n\to+\infty} :
{\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac1p=\ln_2(n)+c_1+O\left(\frac1{\ln n}\right),}pour un réel {c_1} à préciser.
{\sum_{\substack{p\leq n\\[4pt]p\text{ premier}}}\frac1p=\ln_2(n)+c_1+O\left(\frac1{\ln n}\right),}pour un réel {c_1} à préciser.
21a. Soient {x\geq1} réel et {q\in\mathbb N^*}. Justifier que la quantité :
{\operatorname{Card}\{n\in\mathbb N\cap[1,x]:n\equiv0\pmod q\}-\frac xq}est bornée en valeur absolue par un réel indépendant de {x} et de {q}.
{\operatorname{Card}\{n\in\mathbb N\cap[1,x]:n\equiv0\pmod q\}-\frac xq}est bornée en valeur absolue par un réel indépendant de {x} et de {q}.
21b. Démontrer, à l’aide d’une interversion de sommes, que, lorsque {x\to+\infty} :
{\frac1x\sum_{n\leq x}\omega(n)=\ln_2(x)+O(1).}
{\frac1x\sum_{n\leq x}\omega(n)=\ln_2(x)+O(1).}
22a. Montrer que, lorsque {x\to+\infty} :
{\begin{array}{l}\dfrac1x\displaystyle\sum_{n\leq x}(\omega(n)-\ln_2(x))^2\\[4pt]\qquad=\dfrac1x\displaystyle\sum_{n\leq x}\omega(n)^2-(\ln_2(x))^2\\[4pt]\qquad\quad+O(\ln_2(x)).\end{array}}
{\begin{array}{l}\dfrac1x\displaystyle\sum_{n\leq x}(\omega(n)-\ln_2(x))^2\\[4pt]\qquad=\dfrac1x\displaystyle\sum_{n\leq x}\omega(n)^2-(\ln_2(x))^2\\[4pt]\qquad\quad+O(\ln_2(x)).\end{array}}
22b. Montrer que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n\leq x}\omega(n)^2\\[4pt]\quad=\!\!\!\displaystyle\sum_{\substack{p_1\leq x,\;p_2\le x\\[4pt]p_1, p_2\text{ premiers}}}\!\!\!\!\operatorname{Card}\left\{n\in\mathbb N^*,\;\begin{array}{l}n\leq x,\\[4pt]p_1\mid n,\ p_2\mid n\end{array}\!\!\right\}\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n\leq x}\omega(n)^2\\[4pt]\quad=\!\!\!\displaystyle\sum_{\substack{p_1\leq x,\;p_2\le x\\[4pt]p_1, p_2\text{ premiers}}}\!\!\!\!\operatorname{Card}\left\{n\in\mathbb N^*,\;\begin{array}{l}n\leq x,\\[4pt]p_1\mid n,\ p_2\mid n\end{array}\!\!\right\}\end{array}}
22c. Montrer que, lorsque {x\to+\infty} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\substack{p_1,p_2\leq x\\[4pt]p_1\neq p_2\text{ premiers}}}\operatorname{Card}\left\{n\in\mathbb N^*:\begin{array}{l}n\leq x,\\[4pt]p_1\mid n,\ p_2\mid n\end{array}\right\}\\[4pt]\qquad-x(\ln_2(x))^2=O(x\ln_2(x)).\end{array}}On pourra estimer le cardinal de l’ensemble des paires de nombres premiers {(p_1,p_2)} tels que {p_1p_2\leq x} lorsque {x\to+\infty}.
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{\substack{p_1,p_2\leq x\\[4pt]p_1\neq p_2\text{ premiers}}}\operatorname{Card}\left\{n\in\mathbb N^*:\begin{array}{l}n\leq x,\\[4pt]p_1\mid n,\ p_2\mid n\end{array}\right\}\\[4pt]\qquad-x(\ln_2(x))^2=O(x\ln_2(x)).\end{array}}On pourra estimer le cardinal de l’ensemble des paires de nombres premiers {(p_1,p_2)} tels que {p_1p_2\leq x} lorsque {x\to+\infty}.
22d. Conclure que, lorsque {x\to+\infty} :
{\frac1x\sum_{n\leq x}(\omega(n)-\ln_2(x))^2=O(\ln_2(x)).}
{\frac1x\sum_{n\leq x}(\omega(n)-\ln_2(x))^2=O(\ln_2(x)).}
23. On note {\mathcal S} l’ensemble des entiers {n\geq3} tels que :
{\left|\frac{\omega(n)-\ln_2(n)}{\sqrt{\ln_2(n)}}\right|\geq(\ln_2(n))^{1/4}.}Montrer que :
{\lim_{x\to+\infty}\frac1x\operatorname{Card}\{n\leq x:n\in\mathcal S\}=0.}On pourra commencer par écrire :
{\begin{array}{l}\operatorname{Card}(\mathcal S\cap[1,x])\\[4pt]\qquad=\operatorname{Card}(\mathcal S\cap[\sqrt x,x])+O(\sqrt x),\end{array}}et remarquer que, pour les entiers de l’intervalle de droite, {|\ln_2(n)-\ln_2(x)|} reste borné.
{\left|\frac{\omega(n)-\ln_2(n)}{\sqrt{\ln_2(n)}}\right|\geq(\ln_2(n))^{1/4}.}Montrer que :
{\lim_{x\to+\infty}\frac1x\operatorname{Card}\{n\leq x:n\in\mathcal S\}=0.}On pourra commencer par écrire :
{\begin{array}{l}\operatorname{Card}(\mathcal S\cap[1,x])\\[4pt]\qquad=\operatorname{Card}(\mathcal S\cap[\sqrt x,x])+O(\sqrt x),\end{array}}et remarquer que, pour les entiers de l’intervalle de droite, {|\ln_2(n)-\ln_2(x)|} reste borné.
On dit alors que l’ensemble {\mathcal S} a densité {0}. De même que pour les permutations, on obtient qu’en dehors d’un ensemble de densité nulle :
{\omega(n)=\ln(\ln n)(1+o(1)).}