Concours National Commun 2023 — Mathématiques I — MP
Ce sujet est composé d’un exercice et d’un problème indépendants.
Exercice — Un problème d’extremum
Noté sur 4 points sur 20
On considère la fonction {F:\mathbb R^2\to\mathbb R} définie, pour tout {(x,y)\in\mathbb R^2}, par :
{F(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y.}1. Quelques propriétés de la fonction {F}
1.1. Justifier que {F} est de classe {\mathcal C^2} sur {\mathbb R^2} et calculer ses dérivées partielles premières en tout point de {\mathbb R^2}.
1.2. Montrer que {F} admet un unique point critique {(x_0,y_0)\in\mathbb R^2} et le déterminer.
2. Étude de la nature du point critique {(x_0,y_0)}
2.1. Calculer les dérivées partielles secondes de {F} au point {(x_0,y_0)}.
2.2. À l’aide de la matrice hessienne, montrer que {F} présente un extremum local au point {(x_0,y_0)}. Est-ce un minimum ou un maximum local ?
3. Étude plus approfondie de l’extremum en question
3.1. Soit {(x,y)\in\mathbb R^2} ; on pose {u=x} et {v=y-3}. Vérifier que {F(x,y)=u^2+uv+v^2-9}.
3.2. Montrer qu’en fait {F} présente un extremum absolu strict au point {(x_0,y_0)}.
On pourra remarquer que, pour tout {(u,v)\in\mathbb R^2} :
{u^2+uv+v^2=\left(u+\frac v2\right)^2+\frac{3v^2}4.}
On pourra remarquer que, pour tout {(u,v)\in\mathbb R^2} :
{u^2+uv+v^2=\left(u+\frac v2\right)^2+\frac{3v^2}4.}
Problème — Exemples d’utilisation d’équations différentielles en analyse
Notations
Dans ce problème, {I} désigne un intervalle non trivial de {\mathbb R} et {f:I\to\mathbb R} une fonction continue. On note {(\mathcal L_f)} l’équation différentielle linéaire du second ordre :
{y''+y=f.\qquad(\mathcal L_f)}Si {x_0\in I}, on définit {\varphi_{f,x_0}:I\to\mathbb R} par, pour tout {x\in I} :
{\varphi_{f,x_0}(x)=\int_{x_0}^x f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt.}Dans tout le problème, les solutions des équations différentielles considérées sont à valeurs réelles.
1ère partie — Expression intégrale des solutions de {(\mathcal L_f)}
Application au cas où {f} est {2\pi}-périodique
1.1. Montrer que l’ensemble {\Sigma_0} des solutions, sur {\mathbb R}, de {y''+y=0} est un espace vectoriel réel ; préciser sa dimension et en donner une base.
1.2. Recherche d’une solution particulière de {(\mathcal L_f)}
Pour tout {x\in I}, on pose :
{\begin{array}{l}\varphi_1(x)=\displaystyle\int_{x_0}^x f(t)\cos t\,\mathrm dt,\\[4pt]\varphi_2(x)=\displaystyle\int_{x_0}^x f(t)\sin t\,\mathrm dt.\end{array}}
1.2.1. Justifier que {\varphi_1} et {\varphi_2} sont dérivables sur {I} et exprimer {\varphi'_1(x)} et {\varphi'_2(x)} pour tout {x\in I}.
1.2.2. Montrer que, pour tout {x\in I}, {\varphi_{f,x_0}(x)=\varphi_1(x)\sin x-\varphi_2(x)\cos x}. Que vaut {\varphi_{f,x_0}(x_0)} ?
1.2.3. En déduire que {\varphi_{f,x_0}} est dérivable sur {I} et exprimer {\varphi'_{f,x_0}(x)} pour tout {x\in I}. Que vaut {\varphi'_{f,x_0}(x_0)} ?
1.2.4. Montrer que {\varphi_{f,x_0}} est deux fois dérivable sur {I} et qu’elle est solution, sur {I}, de {(\mathcal L_f)}.
1.2.5. Montrer que {\varphi_{f,x_0}} est l’unique solution, sur {I}, de {(\mathcal L_f)} s’annulant ainsi que sa dérivée en {x_0}.
1.3. Expression intégrale des solutions de {(\mathcal L_f)}. Montrer que les solutions, sur {I}, de {(\mathcal L_f)} sont les fonctions de la forme :
{\begin{array}{rl}x\longmapsto&\alpha\cos x+\beta\sin x\\[4pt]&\quad+\displaystyle\int_{x_0}^x f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt,\end{array}}où {(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2}.
{\begin{array}{rl}x\longmapsto&\alpha\cos x+\beta\sin x\\[4pt]&\quad+\displaystyle\int_{x_0}^x f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt,\end{array}}où {(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2}.
1.4. Étude de la périodicité des solutions de {(\mathcal L_f)} dans le cas où {f} est {2\pi}-périodique
Dans cette section, on suppose que {I=\mathbb R} et que {f} est {2\pi}-périodique.
1.4.1. On suppose que {(\mathcal L_f)} possède une solution {2\pi}-périodique {g}.
1.4.1. (i) Montrer qu’il existe {(\lambda,\mu)\in\mathbb R^2} tel que, pour tout {x\in\mathbb R} :
{\begin{array}{rl}g(x)&=\lambda\cos x+\mu\sin x\\[4pt]&\quad+\displaystyle\int_0^x f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{rl}g(x)&=\lambda\cos x+\mu\sin x\\[4pt]&\quad+\displaystyle\int_0^x f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt.\end{array}}
1.4.1. (ii) En déduire que, pour tout réel {x} :
{\int_x^{x+2\pi}f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt=0.}
{\int_x^{x+2\pi}f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt=0.}
1.4.1. (iii) Montrer que :
{\int_0^{2\pi}f(t)\sin t\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}f(t)\cos t\,\mathrm dt=0.}
{\int_0^{2\pi}f(t)\sin t\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}f(t)\cos t\,\mathrm dt=0.}
1.4.2. On suppose ici que :
{\int_0^{2\pi}f(t)\sin t\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}f(t)\cos t\,\mathrm dt=0.}
1.4.2. (i) Montrer que, pour tout réel {x} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_x^{x+2\pi}f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt\\[4pt]\qquad=\displaystyle\int_0^{2\pi}f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt=0.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_x^{x+2\pi}f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt\\[4pt]\qquad=\displaystyle\int_0^{2\pi}f(t)\sin(x-t)\,\mathrm dt=0.\end{array}}
1.4.2. (ii) En déduire d’abord que {\varphi_{f,0}} est {2\pi}-périodique, puis justifier qu’il en est de même de toutes les solutions de {(\mathcal L_f)}.
1.4.3. Si {f} est la fonction sinus, l’équation {(\mathcal L_f)} possède-t-elle des solutions {2\pi}-périodiques ?
2ème partie — Application à l’étude d’une intégrale dépendant d’un paramètre et au calcul de l’intégrale de Dirichlet
Le but de cette partie est de calculer l’intégrale {\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\mathrm dt}, dite de Dirichlet.
2.1. Convergence d’intégrales
2.1.1. Convergence de l’intégrale de Dirichlet
2.1.1. (i) Montrer que la fonction {t\mapsto\dfrac{1-\cos t}{t^2}} est intégrable sur {]0,+\infty[}.
2.1.1. (ii) Montrer que, pour tout réel {x>0} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_1^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[4pt]\qquad=\left[\dfrac{1-\cos t}{t}\right]_1^x+\displaystyle\int_1^x\frac{1-\cos t}{t^2}\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_1^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[4pt]\qquad=\left[\dfrac{1-\cos t}{t}\right]_1^x+\displaystyle\int_1^x\frac{1-\cos t}{t^2}\,\mathrm dt.\end{array}}
2.1.1. (iii) Montrer soigneusement que l’intégrale {\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\mathrm dt} est convergente.
2.1.2. Montrer que l’intégrale {\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t}\,\mathrm dt} est également convergente.
2.2. Étude de solutions de {(\mathcal L_f)} lorsque {I=]0,+\infty[} et {f:x\mapsto1/x}
Dans cette section, on suppose que {I=]0,+\infty[} et {f(x)=1/x}. On cherche à montrer, par analyse-synthèse, que {(\mathcal L_f)} admet une unique solution sur {]0,+\infty[} ayant {0} pour limite en {+\infty}.
2.2.1. Analyse. On suppose que {\psi} est une solution de {(\mathcal L_f)} sur {]0,+\infty[} ayant {0} pour limite en {+\infty}.
2.2.1. (i) Montrer qu’il existe {(\lambda,\mu)\in\mathbb R^2} tel que, pour tout {x>0} :
{\begin{array}{rl}\psi(x)&=\left(\lambda-\displaystyle\int_1^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\right)\cos x\\[4pt]&\quad+\left(\mu+\displaystyle\int_1^x\frac{\cos t}{t}\,\mathrm dt\right)\sin x.\end{array}}
{\begin{array}{rl}\psi(x)&=\left(\lambda-\displaystyle\int_1^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\right)\cos x\\[4pt]&\quad+\left(\mu+\displaystyle\int_1^x\frac{\cos t}{t}\,\mathrm dt\right)\sin x.\end{array}}
2.2.1. (ii) Montrer que :
{\begin{array}{l}\lambda=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt,\\[4pt]\mu=-\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{t}\,\mathrm dt.\end{array}}On pourra considérer les suites {(\psi(2n\pi))_{n\geq1}} et {(\psi(\pi/2+2n\pi))_{n\geq1}}.
{\begin{array}{l}\lambda=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt,\\[4pt]\mu=-\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{t}\,\mathrm dt.\end{array}}On pourra considérer les suites {(\psi(2n\pi))_{n\geq1}} et {(\psi(\pi/2+2n\pi))_{n\geq1}}.
2.2.1. (iii) En déduire que, pour tout {x>0} :
{\psi(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}t\,\mathrm dt.}
{\psi(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}t\,\mathrm dt.}
2.2.2. Synthèse. Montrer que la fonction :
{\psi_1:x\longmapsto\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}t\,\mathrm dt}est effectivement solution, sur {]0,+\infty[}, de {(\mathcal L_f)} et qu’elle admet {0} pour limite en {+\infty}.
{\psi_1:x\longmapsto\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}t\,\mathrm dt}est effectivement solution, sur {]0,+\infty[}, de {(\mathcal L_f)} et qu’elle admet {0} pour limite en {+\infty}.
2.3. Étude d’une fonction définie comme une intégrale dépendant d’un paramètre
2.3.1. Montrer que, pour tout {x\geq0}, la fonction {t\mapsto\dfrac{e^{-xt}}{1+t^2}} est intégrable sur {[0,+\infty[}.
Dans la suite de cette partie, on pose, pour {x\geq0} :
{h(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\,\mathrm dt.}
2.3.2. Calculer {h(0)}.
2.3.3. Montrer, en précisant le théorème utilisé, que {h} est continue sur {[0,+\infty[}.
2.3.4. Montrer, en précisant le théorème utilisé, que {h} admet {0} pour limite en {+\infty}.
2.3.5. Montrer, en vérifiant soigneusement les hypothèses du théorème utilisé, que {h} est de classe {\mathcal C^2} sur {]0,+\infty[}, puis donner une expression de {h''} sous forme intégrale.
2.3.6. Montrer que, pour tout réel {x>0}, {h''(x)+h(x)=1/x}.
2.3.7. En déduire que, pour tout {x>0} :
{\begin{array}{rl}h(x)&=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}t\,\mathrm dt\\[4pt]&=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin s}{x+s}\,\mathrm ds.\end{array}}
{\begin{array}{rl}h(x)&=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}t\,\mathrm dt\\[4pt]&=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin s}{x+s}\,\mathrm ds.\end{array}}
2.4. Application au calcul de l’intégrale de Dirichlet
On reprend ici les notations de la section précédente.
2.4.1. Montrer que, pour tout réel {x>0} :
{\begin{array}{l}\left|\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{x+t}\,\mathrm dt-\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\right|\\[4pt]\quad\leq x\displaystyle\int_0^1\frac{\sin t}{t}\frac1{x+t}\,\mathrm dt\\[4pt]\qquad+x\left|\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t(x+t)}\,\mathrm dt\right|.\end{array}}
{\begin{array}{l}\left|\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{x+t}\,\mathrm dt-\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\right|\\[4pt]\quad\leq x\displaystyle\int_0^1\frac{\sin t}{t}\frac1{x+t}\,\mathrm dt\\[4pt]\qquad+x\left|\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t(x+t)}\,\mathrm dt\right|.\end{array}}
2.4.2. En déduire que, pour tout réel {x>0} :
{\begin{array}{l}\left|\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{x+t}\,\mathrm dt-\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\right|\\[4pt]\quad\leq x\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)+x\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^2}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\left|\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{x+t}\,\mathrm dt-\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\right|\\[4pt]\quad\leq x\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)+x\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^2}.\end{array}}
2.4.3. Montrer soigneusement que :
{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt=\lim_{x\to0^+}h(x)=\frac\pi2.}
{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt=\lim_{x\to0^+}h(x)=\frac\pi2.}
3ème partie — Application à l’étude de la somme d’une série de fonctions
On considère la suite {(u_n)_{n\geq1}} de fonctions définies sur {[0,+\infty[} par, pour tout {n\in\mathbb N^*} et tout {x\geq0} :
{u_n(x)=\frac{e^{-nx}}{1+n^2}.}
3.1. Montrer que la série de fonctions {\sum\limits_{n\geq1}u_n} converge normalement sur {[0,+\infty[}.
3.2. Montrer que, pour tout {a>0}, les séries de fonctions {\sum\limits_{n\geq1}nu_n} et {\sum\limits_{n\geq1}n^2u_n} convergent normalement sur {[a,+\infty[}.
Dans la suite de cette partie, on pose, pour {x\geq0} :
{u(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{1+n^2}.}3.3. Quelques propriétés de la fonction {u}
3.3.1. Montrer, en précisant le théorème utilisé, que {u} est continue sur {[0,+\infty[}.
3.3.2. Montrer de même que {u} admet {0} pour limite en {+\infty}.
3.3.3. Montrer que {u} est de classe {\mathcal C^2} sur {]0,+\infty[} et donner une expression de sa dérivée seconde sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
3.3.4. Montrer que, pour tout {x>0} :
{u''(x)+u(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.}
{u''(x)+u(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.}
3.3.5. En utilisant les résultats de la première partie du problème, montrer qu’il existe {(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2} tel que, pour tout {x>0} :
{\begin{array}{rl}u(x)&=\alpha\cos x+\beta\sin x\\[4pt]&\quad+\displaystyle\int_1^x\frac{\sin(x-t)}{e^t-1}\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{rl}u(x)&=\alpha\cos x+\beta\sin x\\[4pt]&\quad+\displaystyle\int_1^x\frac{\sin(x-t)}{e^t-1}\,\mathrm dt.\end{array}}
3.4. Une autre expression intégrale de la fonction {u}
3.4.1. Montrer que, pour tout {a>0}, la fonction {t\mapsto\dfrac1{e^t-1}} est intégrable sur {[a,+\infty[}.
3.4.2. En déduire que, pour tout {a>0}, les fonctions {t\mapsto\dfrac{\sin t}{e^t-1}} et {t\mapsto\dfrac{\cos t}{e^t-1}} sont intégrables sur {[a,+\infty[}.
3.4.3. Montrer que, pour tout {x>0} :
{\begin{array}{rl}u(x)&=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}{e^t-1}\,\mathrm dt\\[4pt]&=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin s}{e^{x+s}-1}\,\mathrm ds.\end{array}}
{\begin{array}{rl}u(x)&=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t-x)}{e^t-1}\,\mathrm dt\\[4pt]&=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin s}{e^{x+s}-1}\,\mathrm ds.\end{array}}
3.5. Justifier que la fonction {t\mapsto\dfrac{\sin t}{e^t-1}} est intégrable sur {]0,+\infty[} et montrer, en précisant le théorème utilisé, que :
{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{e^t-1}\,\mathrm dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{1+n^2}.}
{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{e^t-1}\,\mathrm dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{1+n^2}.}