Concours commun INP 2023 — Mathématiques 1 — MP
Le sujet comporte deux exercices et un problème.
Exercice I — Informatique
On souhaite écrire des algorithmes de calcul matriciel, en particulier pour utiliser les matrices d’adjacence d’un graphe.
Les programmes sont demandés en Python, sans aucune bibliothèque.
Les matrices carrées sont représentées par des listes de lignes.
Ainsi {\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&4\end{pmatrix}} est représentée par [[1, 2], [3, 4]].
Les sommets d’un graphe à {n} sommets sont numérotés de {0} à {n-1}.
Q1. Écrire une fonction
produit(A, B) prenant deux matrices carrées de mêmes dimensions et renvoyant leur produit {AB}.Q2. Écrire une fonction
oriente(A) prenant la matrice d’adjacence d’un graphe et renvoyant True si le graphe est orienté, False sinon.Q3. On admet que le nombre de chemins de longueur {p} reliant {i} à {j} est le coefficient {(i,j)} de {A^p}.
Écrire
On suppose qu’un tel chemin existe.
Écrire
distance(A, i, j), qui renvoie le nombre minimal d’arêtes à parcourir pour atteindre {j} depuis {i}.On suppose qu’un tel chemin existe.
On considère les tables
CLIENTS et PARTENAIRES.CLIENTS :
id est un identifiant entier, clé primaire ; nom, prenom, ville et email sont des chaînes de caractères.PARTENAIRES :
id est un identifiant de suivi entier, clé primaire ; id_client est l’identifiant du client correspondant dans CLIENTS ; partenaire est le nom du partenaire, sous forme de chaîne de caractères.
Q4. Écrire une requête SQL permettant d’extraire les identifiants de tous les clients provenant de la ville de « Toulouse ».
Q5. Écrire une requête SQL permettant d’extraire les emails de tous les clients ayant « SCEI » comme partenaire.
Exercice II — Extrema d’une fonction de deux variables
On définit sur {\mathbb{R}^2} :
{f(x,y)=x^2-2xy+2y^2+e^{-x}.}
Q6. Établir que l’équation {e^{-x}=x} admet une unique solution sur {\mathbb{R}}.
Q7. Démontrer que {f} possède un unique point critique {(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2}.
Q8. À l’aide de la matrice hessienne, démontrer que {f} admet un extremum local en {(x_0,y_0)}.
Est-ce un minimum ou un maximum ?
Est-ce un minimum ou un maximum ?
Problème — Vers la formule des compléments
Dans tout le problème, {\alpha\in]0,1[}.
On pose :
{\begin{array}{l}\displaystyle I(\alpha)=\int_0^1\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx,\\[8pt]\displaystyle J(\alpha)=\int_1^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx.\end{array}}
Partie I — Calcul d’une intégrale à l’aide d’une série
Q9. Démontrer que {x\mapsto x^{\alpha-1}/(1+x)} est intégrable sur {]0,1]} et sur {[1,+\infty[}.
Q10. Démontrer que {J(\alpha)=I(1-\alpha)}.
On se propose maintenant d’écrire {I(\alpha)} sous forme d’une somme de série.
Q11. Première tentative. Pour {x\in]0,1[}, on pose {f_n(x)=(-1)^nx^{n+\alpha-1}}.
Montrer que :
{\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x).}La série de fonctions converge-t-elle uniformément sur {]0,1[} ?
Montrer que :
{\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x).}La série de fonctions converge-t-elle uniformément sur {]0,1[} ?
Q12. 2ième tentative. Pour {x\in]0,1[} on pose{S_n(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^kx^{k+\alpha-1}.}À l’aide du théorème de convergence dominée, montrer que :
{I(\alpha)=\lim_{n\to+\infty}\int_0^1S_n(x)\,dx.}En déduire une expression de {I(\alpha)} comme somme de série.
{I(\alpha)=\lim_{n\to+\infty}\int_0^1S_n(x)\,dx.}En déduire une expression de {I(\alpha)} comme somme de série.
Q13. En déduire que :
{\begin{array}{l}\displaystyle I(\alpha)+J(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx\\[8pt]\displaystyle\qquad=\frac1\alpha+2\alpha\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle I(\alpha)+J(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx\\[8pt]\displaystyle\qquad=\frac1\alpha+2\alpha\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}.\end{array}}
L’énoncé admet la formule suivante :
{\begin{array}{l}\displaystyle\cos(\alpha x)=\frac{\sin(\pi\alpha)}\pi\\[6pt]\qquad\times\displaystyle\left(\frac1\alpha+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{2\alpha\cos(nx)}{\alpha^2-n^2}\right).\end{array}}Q12 sur sa portée. Elle est citée pour tout {x\in\mathbb{R}}, ce qui est inexact en général : le membre de droite est {2\pi}-périodique, contrairement à {\cos(\alpha x)} pour {0\lt\alpha\lt1}.
La formule est valable sur {[-\pi,\pi]}.
Seul le cas {x=0}, compris dans cet intervalle, est nécessaire ci-dessous.
Q14. Démontrer que :
{\int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx=\frac\pi{\sin(\alpha\pi)}.}
{\int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx=\frac\pi{\sin(\alpha\pi)}.}
Partie II — Lien avec la fonction Gamma
Dans toute la suite, on pose, pour {x>0} :
{\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt,}et, pour {x\geqslant0} :
{f_\alpha(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{1+t}e^{-xt}\,dt.}
Q15. Démontrer que {\Gamma} est bien définie sur {]0,+\infty[}
Q16. Démontrer que {f_\alpha} est bien définie et continue sur {[0,+\infty[}.
Q17. Démontrer que {f_\alpha} est de classe {C^1} sur {]0,+\infty[} et calculer sa dérivée.
Q18. Déterminer {\lim\limits_{x\to+\infty}f_\alpha(x)}.
Q19. Démontrer que {t\mapsto e^{-t}/t^\alpha} est intégrable sur {]0,+\infty[}.
En déduire {\lim\limits_{x\to+\infty}\int_x^{+\infty}e^{-t}/t^\alpha\,dt}.
En déduire {\lim\limits_{x\to+\infty}\int_x^{+\infty}e^{-t}/t^\alpha\,dt}.
Partie III — Vers la formule des compléments
Q20. Pour tout {x>0}, démontrer que :
{f_\alpha(x)-f_\alpha'(x)=\frac{\Gamma(\alpha)}{x^\alpha}.}
{f_\alpha(x)-f_\alpha'(x)=\frac{\Gamma(\alpha)}{x^\alpha}.}
Q21. Pour {x>0}, on pose :
{g_\alpha(x)=\Gamma(\alpha)e^x\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\,dt.}Vérifier que {g_\alpha} est une solution particulière de {y-y'=\Gamma(\alpha)/x^\alpha}.
En déduire que {f_\alpha(x)=g_\alpha(x)} pour tout {x>0}.
{g_\alpha(x)=\Gamma(\alpha)e^x\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\,dt.}Vérifier que {g_\alpha} est une solution particulière de {y-y'=\Gamma(\alpha)/x^\alpha}.
En déduire que {f_\alpha(x)=g_\alpha(x)} pour tout {x>0}.
Q22. En déduire que :
{\int_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{1+t}\,dt=\Gamma(\alpha)\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\,dt.}
{\int_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{1+t}\,dt=\Gamma(\alpha)\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\,dt.}
Q23. Démontrer la formule des compléments :
{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac\pi{\sin(\alpha\pi)}.}
{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac\pi{\sin(\alpha\pi)}.}
Q24. En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss :
{\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt.}
{\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt.}