Concours commun Mines-Ponts 2023 — Mathématiques II — MP
Fonction de Wallis
Préliminaires
Dans tout le sujet, on pose {I=]-1,+\infty[}.
Les fonctions {\sigma} et {f} sont définies, aux points où les expressions suivantes ont un sens, par :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sigma(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{k^2},\\[8pt]\displaystyle f(x)=\int_0^{\pi/2}(\sin t)^x\,dt.\end{array}}On étudie le domaine de définition de {f}, sa régularité, ses variations, sa convexité et son développement en série entière.
La dernière partie caractérise {f} par des propriétés fonctionnelles et de convexité.
Partie 1. Calcul de {\sigma(1)}
1. Déterminer le domaine de définition de {\sigma}, puis justifier que {\sigma} est continue sur celui-ci.
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2. Exhiber deux réels {\alpha,\beta} tels que pour tout {n\!\geqslant\!1}:
{\int_0^\pi(\alpha t^2+\beta t)\cos(nt)\,dt=\frac1{n^2}.}Puis vérifier que, pour {t\in]0,\pi]} et {n\geqslant1} :
{\sum_{k=1}^n\cos(kt)=\frac{\sin((2n+1)t/2)}{2\sin(t/2)}-\frac12.}
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3. Justifier que, si {\varphi\in C^1([0,\pi],\mathbb{R})}, alors :
{\lim_{x\to+\infty}\int_0^\pi\varphi(t)\sin(xt)\,dt=0.}En conclure que {\sigma(1)=\pi^2/6}.
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Partie 2. Équivalents
4. Déterminer le domaine de définition de {f}, puis vérifier que :
{\forall x\in I,\;(x\!+\!1)f(x)=(x\!+\!2)f(x\!+\!2).\ (1)}
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5. Justifier que {f} est de classe {C^2}, décroissante et convexe sur {I}.
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6. Donner un équivalent simple de {f(x)} lorsque {x} tend vers {-1}.
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7. Montrer que, pour tout entier {n\geqslant0} :
{f(n)f(n+1)=\frac\pi{2(n+1)},}puis que {f(x)\sim\sqrt{\pi/(2x)}} lorsque {x\to+\infty}.
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8. Représenter graphiquement {f} en exploitant au mieux les résultats précédents.
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Partie 3. Développement en série entière
Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {D_n} l’intégrale généralisée :
{D_n=\int_0^{\pi/2}(\ln(\sin t))^n\,dt.}
9. Justifier la convergence de {D_n} pour tout {n\in\mathbb{N}}, puis montrer que :
{D_1=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos t)\,dt.}
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10. Calculer {f'(0)} et {f'(1)}.
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11. Vérifier que, pour {n\geqslant1} :
{(-1)^nD_n=\int_0^{+\infty}\frac{u^n}{\sqrt{e^{2u}-1}}\,du,}puis montrer que {D_n\sim(-1)^nn!}.
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12. Démontrer que {f} est développable en série entière sur {]-1,1[}.
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Partie 4. Convergence de suite de fns
On cherche à calculer {f''(0)}.
Soient {a,b>0}, {\rho=(b-a)/(b+a)} et :
{\Psi(x)=\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)\quad(x\in\mathbb{R}).}
13. Montrer que {\Psi} est {C^1} sur {\mathbb{R}}, puis que :
{\Psi'(x)=4\sum_{k=1}^{+\infty}\rho^k\sin(2kx).}
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14. En déduire que, pour tout {x\in\mathbb{R}} :
{\Psi(x)=2\ln\left(\frac{a+b}2\right)-2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\rho^k}{k}\cos(2kx).}
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15. En conclure que :
{\int_0^\pi\Psi(x)^2\,dx=4\pi\left(\ln\frac{a+b}2\right)^2+2\pi\sigma(\rho^2).}
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Pour
{n\geqslant1}, on pose
{a_n=1/(n+1)} et
{b_n=n/(n+1)}.
16. Établir la convergence simple de la suite {(\Psi_n)} de {]0,\pi]} dans {\mathbb{R}} définie par :
{\Psi_n(t)=\ln(a_n^2\cos^2t+b_n^2\sin^2t).}En déduire {f''(0)}.
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Partie 5. Convexité logarithmique
Une application {h} d’un intervalle non trivial {J} dans {\mathbb{R}} est dite ln-convexe si elle est strictement positive et si {\ln\circ h} est convexe sur {J}.
17. Vérifier que {f} est ln-convexe sur {I}.
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On cherche désormais toutes les applications ln-convexes sur
{I} vérifiant (1).
On définit, pour
{x\geqslant0},
{\widetilde f(x)=\ln(f(2x))}.
18. Montrer que, pour {p\geqslant1} et {x\geqslant0} :
{\begin{array}{l}\widetilde f(x+p)=\widetilde f(x)\\[4pt]\qquad+\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\ln\left(\frac{2x+2k+1}{2x+2k+2}\right).\end{array}}
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19. Soient {x>0}, {n,p\geqslant1} et {x\leqslant p}.
Vérifier que :
{\begin{array}{l}\widetilde f(n)-\widetilde f(n-1)\\[4pt]\quad\leqslant\dfrac{\widetilde f(n+x)-\widetilde f(n)}x\\[8pt]\quad\leqslant\dfrac{\widetilde f(n+p)-\widetilde f(n)}p.\end{array}}Montrer que {\widetilde f(n+x)-\widetilde f(n)} admet une limite lorsque {n\to+\infty}.
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20. En conclure que {f} est la seule application ln-convexe sur {I}, vérifiant (1) et telle que {f(0)=\pi/2}.
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21. Pour {T>0}, déterminer toutes les applications {g:]-T,+\infty[\to\mathbb{R}} ln-convexes et vérifiant :
{(t+T)g(t)=(t+2T)g(t+2T)\quad(t>-T).}
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22. Existe-t-il une application {h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} ln-convexe, vérifiant pour tout {t\in\mathbb{R}} :
{(t+T)h(t)=(t+2T)h(t+2T)\ ?}
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