2023-X-Ens-MpA-corrigé

École polytechnique – Écoles normales supérieures — 2023

Mathématiques A — Filière MP-MPI

Notations
On note {\mathbb{R}} et {\mathbb{C}} les corps des nombres réels et complexes. Pour {z\in\mathbb{C}}, on note {\overline z} son conjugué et {|z|} son module.
Si {V} est un espace euclidien, on note {\operatorname{End}(V)} l’espace de ses endomorphismes réels, {\operatorname{GL}(V)} le groupe de ses automorphismes linéaires, {\operatorname{O}(V)} son groupe orthogonal et {\operatorname{SO}(V)} son groupe spécial orthogonal.

Les {\mathbb{R}}-algèbres considérées sont non nulles, associatives et unitaires, mais pas nécessairement commutatives. Deux telles algèbres {A,B} sont isomorphes s’il existe une bijection réelle linéaire {f:A\to B} telle que {f(xy)=f(x)f(y)} pour tous {x,y\in A}.
Si {e} est l’unité de {A}, on note {\mathbb{R}_A=\{ae:a\in\mathbb{R}\}}. Un élément {x} est inversible s’il existe {y} tel que {xy=yx=e}. On note {A^\times} l’ensemble des éléments inversibles ; on admet qu’il s’agit d’un groupe pour la multiplication.

Pour {z_1,z_2\in\mathbb{C}}, on pose :
{Z(z_1,z_2)=\begin{pmatrix}z_1&-\overline{z_2}\\z_2&\overline{z_1}\end{pmatrix}}On considère {\mathbb{H}=\{Z(z_1,z_2):z_1,z_2\in\mathbb{C}\}\subset M_2(\mathbb{C})}. On admet que c’est un sous-espace vectoriel réel, de base :
{E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}{J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad K=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}Ces matrices vérifient :
{\begin{array}{l}I^2=J^2=K^2=-E,\;IJ=-JI=K,\\[4pt]JK=-KJ=I,\quad KI=-IK=J\end{array}}On distinguera le nombre complexe {i}, la matrice {I} et la matrice identité {E}. On pose :
{\mathbb{H}^{\mathrm{im}}=\{xI+yJ+zK:(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}}{\begin{array}{rl}N(Z(z_1,z_2))=|z_1|^2+|z_2|^2,\\[6pt]S=\{U\in\mathbb{H}:N(U)=1\}\end{array}}

I Préliminaires

Pour {A=(a_{ij})\in M_2(\mathbb{C})}, on note {A^\ast=(\overline{a_{ji}})}.

La question 3. a) montre que l’on définit un produit scalaire sur {\mathbb{H}} par :
{\langle Z,Z'\rangle=\dfrac{N(Z+Z')-N(Z)-N(Z')}2}L’application {\psi:\mathbb{R}^4\to\mathbb{H}} définie par {\psi(x,y,z,t)=xE+yI+zJ+tK} est une isométrie pour le produit scalaire usuel sur {\mathbb{R}^4}. On munit désormais {\mathbb{H}} de cette structure euclidienne ; {(E,I,J,K)} en est une base orthonormée.

Soient {U,V\in\mathbb{H}^{\mathrm{im}}}.

II Automorphismes de {\mathbb{H}} et rotations

On munit {S\times S} de la loi {(u_1,u_2)\times(v_1,v_2)=(u_1v_1,u_2v_2)}, qui en fait un groupe. On considère :
{\alpha:S\times S\to\operatorname{GL}(\mathbb{H}),\quad\alpha(u,v)(Z)=uZv^{-1}}On admet que {\alpha(u,v)} appartient à {\operatorname{GL}(\mathbb{H})}. Pour {u\in S}, on admet que {\alpha(u,u)} laisse stable {\mathbb{H}^{\mathrm{im}}}, et on note {C_u} sa restriction : {C_u(Z)=uZu^{-1}}.

Soient {\theta\in\mathbb{R}}, {v\in\mathbb{H}^{\mathrm{im}}\cap S} et {u=(\cos\theta)E+(\sin\theta)v}.
Soit {\operatorname{Aut}(\mathbb{H})} l’ensemble des automorphismes de la {\mathbb{R}}-algèbre {\mathbb{H}} : ce sont les bijections réelles linéaires {f} qui fixent {\mathbb{R}_{\mathbb{H}}} point par point et vérifient {f(uv)=f(u)f(v)}.

III Normes euclidiennes sur {\mathbb{R}^2}

Le but de cette partie est la preuve du résultat suivant, qui sera utilisé dans la partie IV.
Théorème A. Soit {\|\cdot\|} une norme sur le {\mathbb{R}}-espace vectoriel {\mathbb{R}^2}. Si :
{\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\geqslant4}pour tous {x,y\in\mathbb{R}^2} vérifiant {\|x\|=\|y\|=1}, alors cette norme provient d’un produit scalaire.
On note {\|\cdot\|_2} la norme euclidienne canonique et {C=\{x\in\mathbb{R}^2:\|x\|_2=1\}}. On fixe une norme quelconque {\|\cdot\|} sur {\mathbb{R}^2} et on note :
{\mathcal{K}=\{A\in M_2(\mathbb{R}):\forall x\in\mathbb{R}^2,\ \|Ax\|\leqslant\|x\|_2\}}

On fixe par la suite une telle matrice {A}.
On fixe désormais {x\in C} tel que {\|Ax\|=1}. Soit {B\in\operatorname{SO}(\mathbb{R}^2)} une matrice telle que {x=B\binom10}.

IV Algèbres valuées

Soit {A} une {\mathbb{R}}-algèbre et {e} son unité. Dans cette partie, on identifie {\mathbb{R}_A} à {\mathbb{R}} et on écrit {a} au lieu de {ae}. On dit que {A} est algébrique si, pour tout {x\in A}, il existe {n\geqslant1} et {a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{R}} tels que :
{x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0}On dit que {A} est sans diviseur de zéro si {xy\neq0} dès que {x,y\neq0}. On va démontrer le théorème B, puis l’utiliser pour prouver le théorème C.
Théorème B. Une {\mathbb{R}}-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro est isomorphe à {\mathbb{R}}, {\mathbb{C}} ou {\mathbb{H}}.
Soit désormais {A} une {\mathbb{R}}-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro.

On suppose que {A} n’est isomorphe à aucune des algèbres {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.
On fixe un tel {i_A}, on pose {U=\mathbb{R}+\mathbb{R}i_A} et on définit {T:A\to A} par {T(x)=i_Axi_A}. On note {\operatorname{id}} l’identité de {A}.
On fixe {\beta\in\ker(T-\operatorname{id})\setminus\{0\}}.
On se propose maintenant de démontrer le résultat suivant.
Théorème C. Soit {A} une {\mathbb{R}}-algèbre. S’il existe une norme {\|\cdot\|} sur le {\mathbb{R}}-espace vectoriel {A} telle que :
{\|xy\|=\|x\|\,\|y\|\quad(x,y\in A)}alors {A} est isomorphe à {\mathbb{R}}, {\mathbb{C}} ou {\mathbb{H}}. On fixe une algèbre et une norme comme dans cet énoncé.