(Oral X Mp/Mpi)
Soient {(U_n)_{n\geqslant1}} des variables réelles indépendantes de même loi, et {f_n:\mathbb R^n\to\mathbb R_+} des fonctions mesurables vérifiant presque sûrement {\begin{array}{l}f_{n+m}(U_1,\ldots,U_{n+m})\\[8pt]\leqslant f_n(U_1,\ldots,U_n)+f_m(U_{n+1},\ldots,U_{n+m})\end{array}}On pose {X_n=f_n(U_1,\ldots,U_n)} et on suppose {\mathbb E(X_n^2)\lt \infty} pour tout {n}.
| Question a) Montrer que {\mathbb E(X_n)/n} converge vers un réel {l}. |
| Question b) Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {\mathbb P(|X_n/n-l|\geqslant\varepsilon)\to0}. |