(Oral X Mp/Mpi)
Pour {M\in\mathcal M_d(\mathbb R)} et {A=\{a_1\lt \cdots\lt a_p\}\subseteq\{1,\ldots,d\}}, on note {M^A=(m_{a_i,a_j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}} la sous-matrice principale, avec {\det M^\varnothing=1}.
| Question a) Montrer {\det(I_d+M)=\sum\limits_{A\subseteq\{1,\ldots,d\}}\det M^A}. |
| Question b) Soit {X} une partie aléatoire de {\{1,\ldots,d\}}. On suppose qu’il existe une matrice symétrique réelle {K} telle que {\mathbb P(A\subseteq X)=\det K^A} pour toute partie {A}. Si {D=\operatorname{diag}(f(1),\ldots,f(d))}, montrer: {\mathbb E\Bigl(\prod_{i\in X}(1+f(i))\Bigr)=\det(I_d+DK)} |
| Question c) Montrer que le spectre de {K} est inclus dans {[0,1]}. |
| Question d) Montrer que {|X|} suit la loi d’une somme de {d} variables de Bernoulli indépendantes dont les paramètres sont les valeurs propres de {K}. |