(Oral X Mp/Mpi)
Soit {n\geqslant1}. On pose {a_i=(0,i)}, {b_i=(1,i)} pour {1\leqslant i\leqslant n}. Une permutation {\sigma} est choisie uniformément dans {\mathfrak S_n}. On note {I_n} l’ensemble des points d’intersection de deux segments distincts {[a_i,b_{\sigma(i)}]}, et {I'_n} l’ensemble des points communs à au moins trois de ces segments. Les points sont comptés sans multiplicité.
| Question a) Calculer {\mathbb P(|I_n|=0)} et {\mathbb P(|I_n|=1)}. Montrer {\mathbb E|I_n|\leqslant n(n-1)/4}. |
| Question b) Le PDF demande de montrer {\mathbb E|I'_n|=O(n)}. |