(Oral X Mp/Mpi)
Soit {A:\mathbb C\to SL_2(\mathbb C)} dont les coefficients sont développables en série entière sur {\mathbb C}. On suppose {A(x)\in SO_2(\mathbb R)} pour tout {x\in\mathbb R}.
| Question a) Montrer qu’il existe une fonction {\varphi} développable en série entière sur {\mathbb C} telle que : {A(z)=\begin{pmatrix}\cos\varphi(z)&-\sin\varphi(z)\\\sin\varphi(z)&\cos\varphi(z)\end{pmatrix}.} |
| Question b) Supposons qu’il existe {c>0} tel que {|\cos\varphi(z)|\leqslant e^{c|z|}} et {|\sin\varphi(z)|\leqslant e^{c|z|}} pour tout {z}. Montrer que {\varphi} est affine. |