(Oral X Mp/Mpi)
| Question a) Soient {n\geqslant1} et {\preccurlyeq} un ordre partiel sur {\{1,\ldots,n\}}. Montrer que la matrice {(\mathbf1_{i\preccurlyeq j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}} est inversible. |
| Question b) Soit {\mu} la fonction de Möbius : {\mu(1)=1}, {\mu(p_1\cdots p_r)=(-1)^r} pour des nombres premiers distincts, et {\mu(k)=0} si un carré premier divise {k}. Pour {1\leqslant i,j\leqslant n}, on pose {M_{ij}=\mu(i/j)} si {j\mid i}, et {M_{ij}=0} sinon. Montrer que {M} est inversible et calculer son inverse. |
| Question c) Soit {P\in\mathbb R[X]} tel que {P(0)=0}. Montrer qu’il existe des réels {a_n} et {\alpha>0} tels que, pour {|x|\lt \alpha} : {e^{P(x)}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)^{-a_n}.} |