(Oral X Mp/Mpi)
Soit {(a_n)_{n\geqslant0}} une suite décroissante de réels positifs ou nuls. On pose {f_n(t)=a_n\sin(nt)} pour {t\in[0,\pi]}.
| Question a) Soit {\delta\in]0,\pi/2[}. Montrer qu’il existe {C>0} telle que, pour {p\lt q} et {t\in[\delta,\pi-\delta]}, {|\sum\limits_{k=p}^qa_k\sin(kt)|\leqslant Ca_p}. |
| Question b) Si {a_n\to0}, montrer que {\sum f_n} converge simplement sur {[0,\pi]}. |
| Question c) Montrer que {\sum f_n} converge uniformément sur {[0,\pi]} si et seulement si {na_n\to0}. |