(Oral X Mp/Mpi)
Une partie {K} d’un espace vectoriel normé {E} est précompacte si, pour tout {\delta>0}, elle peut être recouverte par un nombre fini de boules fermées de rayon {\delta}, dont les centres sont dans {E}. On note {n(K,\delta)} le plus petit nombre de boules nécessaire.
| Question a) Montrer que toute partie compacte est précompacte. |
| Question b) On suppose {E} de dimension finie {d} et {K} compact d’intérieur non vide. Déterminer un équivalent de {\ln n(K,\delta)} quand {\delta\to0^+}. On pourra commencer par {\mathbb R^d} muni de la norme infinie. |
| Question c) On prend {E=C([0,1],\mathbb R)} muni de la norme infinie, et {K} l’ensemble des fonctions {1}-lipschitziennes s’annulant en {0}. Montrer que {K} est précompact, puis déterminer un équivalent de {\ln(\ln n(K,\delta))} quand {\delta\to0^+}. |