(Oral X Mp/Mpi)
Soient {E} un espace vectoriel normé réel de dimension finie, {F} un sous-espace strict et {\lambda:F\to\mathbb R} une forme linéaire telle que {|\lambda(x)|\leqslant\|x\|} pour tout {x\in F}. Le corps réel, implicite dans les inégalités de l’énoncé, est précisé ici.
| Question a) Montrer que, pour tous {x,z\in F} et tout {y\in E} : {\lambda(x)-\|x-y\|\leqslant\|y+z\|-\lambda(z).} |
| Question b) Montrer que {\lambda} se prolonge en une forme linéaire {\overline\lambda} sur {E} telle que {|\overline\lambda(x)|\leqslant\|x\|} pour tout {x\in E}. |