(Oral X Mp/Mpi)
Une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} est dite semi-continue inférieurement (s.c.i.) si, pour tout {\alpha\in\mathbb R}, l’ensemble {f^{-1}(]-\infty,\alpha])} est fermé dans {\mathbb R}.
| Question a) Montrer que toute fonction continue est s.c.i. |
| Question b) Donner un exemple de fonction s.c.i. mais non continue. |
| Question c) Montrer que {f} est s.c.i. si et seulement si, pour tout {x\in\mathbb R} et tout {\varepsilon>0}, il existe un voisinage {V} de {x} tel que {f(y)>f(x)-\varepsilon} pour tout {y\in V}. |